x : : sin (a -4- 2 6 ) ; cos e

car l’angle OPD est supplémentaire de POD -(- ODP, et

sin OIP = sin OLS = cos 6.

Donc,

01 = J-sin(g + 2ë) .

cos S

par conséquent ,

nlI , • - x sin (a -4- 2 6)

PII = 2 <7 sin 6 i J ;

et enfin

, , , 2 d sin a sinô sin a. sin (a -4- 26)

lij r,= x i i

rns fi rns-’ fi

IDENTITÉ DES COURBES DU 2r DEGnÉ , ETC. 335 Donc, les sections coniques sont des courbes du second ordre.

Avant de démontrer la réciproque, nous allons examiner les positions que doit avoir le plan coupant pour donner successivement l’ellipse, l’hyperbole 'et la parabole.

Pour la première courbe, le coefficient de .r’ doit être négatif-, on doit donc avoir

sina.sin(a -1- 26) ros3 6

Or, il est permis de regarder sina comme positif. F,n ell'et, si l’on applique OX sur OS, et si l’on fait tourner la première ligne autour du point O , jusqu’à ce qu’elle s’applique de nouveau sur SA , l’angle a , d’abord nul , sera devenu égal à 180 degrés 5 et si l’on continue à faire mouvoir OX, cette ligne prendra une position semblable à celle qu’elle avait lorsque l’angle a. était plus petit que 180 degrés.

Comme cos* o est positif, la condition

sina.sin (a 4- 26G

ri > <>

ros- 6

revient à

sin (a 4- 26) o.

Dans ce cas, on voit facilement que la trace OX , du plan sécant sur ASB, coupe la génératrice SB sur la nappe ASB de la surface conique, et que, par conséquent, le plan coupant rencontrant toutes les génératrices sur une même nappe de la surface, la courbe déterminée est rentrante et fermée; ce qui s’accorde avec la forme connue de l’ellipse.

Si l’on a a 4- 2 6 t8o°, la trace OX coupe la généra-

trice SB sur son prolongement SB', de sorte que le plan1 sécant rencontre une partie seulement des génératrices des deux nappes ; il en résulte donc deux branches de courbes

qui s’étcndeift indéfiniment chacune sur une seule nappe.

C’est la forme de l’hyperbole.

Enfin , si a. -+- i 6 = i8o°, OX est parallèle à SB, et le plan sécant rencontre toutes les génératrices, excepté SB, sur la nappe ASB, d’où il résulte une courbe formée d’une seule branche s’étendant indéfiniment sur cette nappe; on a donc la parabole.

Si l’on désigne par — h le coefficient de x5 de l’équation (i) , et si l’on suppose d — o, dans la même équation , elle deviendra

et représentera un point, deux droites qui se coupent, ou line seule droite, suivant qu’on aura

a-t-2-6<^i8o, >180, ou = 1800.

L’hypothèse a = 90° — 6 , introduite dans l’équation (1), rend les facteurs sin «, sin a -j- 26 égaux à cos S , et conduit à une équation de la forme

jr2= hx — x’,

qui représente une circonférence de cercle, puisque les coordonnées sont rectangulaires. Dans le cas dont il s’agit , le plan coupant est perpendiculaire à l’axe du cône.

On conclut de ce qui précède, que l’équation (1) peut représenter : i° une ellipse , un cercle et un point ; 20 une hyperbole et deux droites qui se coupent ; 3° une parabole et une ligne droite.

On voit qu’elle ne peut jamais représenter deux parallèles, ou une ligne imaginaire, et que, par conséquent, elle est moins générale que l’équation

A j-’-h B xj + Cx'-t- D/ -|- Ex + F = o,

235. Occupons-nous maintenant de la question inverse de celle que nous venons de résoudre.

IDENTITÉ DES COURBES DU 2e DEGRÉ, ETC. 33 J Supposons donc que l’on demande de couper un cône par un plan , de manière que l’intersection soit une courbe donnée du second ordre.

En rapportant cette dernière courbe à l’un de ses axes, et à la tangente à l’un des sommets, on sait que son équation sera de la forme

(a) /7 = 2px 4- qx'-,

2 p désignant le paramètre et (] le carré du rapport du second axe au premier (abstraction faite du signe).

Il s’agit de savoir, les quantités /?, <7, 0, d , étant données, si l’on peut déterminer pour d et a des valeurs réelles et finies, qui rendent l’équation (1) identique avec (2).

En égalant respectivement les coefficients de x et de x * dans les deux équations, il vient

tl sin a . sin S

cos 6

sina.siîi(a -+- 26)

cos7 6 . ^

L’équation (3), étant du premier degré par rapport à. d, donnera toujours une valeur réelle pour cette inconnue, si l’on peut tirer de l’équation (4) une valeur de cette espèce pour a. ; •

Pour obtenir ce dernier angle, nous allons changer la , forme de l’équation (4). A cet effet, nous rappellerons que la trigonométrie donne , en général ,

2 sin A sin B — cos (A — B) — cos (A -+- B) ;

d’où nous tirons

cos 2 6 — cos(2 a 4- 2ë) = 2 sin a.sin(a -h 26),

et , par suite, l’équation (4) devient

cos 26 — cos ( 2 x -4- 2 6) = — 2 q cos1 S,

• • * , As? *

3SK

On en déduit

Or,

COS ( 2 X -h 2 6 ) = COS 2 6 4- 2 <] cos’ 6. cos 2 S = cos’ G — sin1 ë = 2 cos! ë — i ;

donc enfin

COS (2a-t~2ë) = 2(l-+-<7) COS1 6 — I .

Dans l’ellipse, le rapport q est négatif et <[ i. Il eu résulte que la valeur 2 (1 -t- q) cos’ 6 — 1 est comprise entre t et — 1 ; qu’alors l'arc 201-1-26 est réel, et, par suite, que a l’est aussi.

Donc, un cône droit étant donné, on peut toujours le couper suivant une ellipse aussi donnée.

Dans l’hyperbole, q est positif et peut avoir une grandeur quelconque. Si la valeur de' cos ( 2 a -f- 2 6) est négative, il est visible qu’elle sera plus petite que l’unité, et, par conséquent, a sera réel. Mais il n’en est plus ainsi quand cette valeur est positive. Dans ce cas, il faut qu’011 ait .

2 ( 1 -h- <7 ) cos’ ë — I I J

d’où

• cos ®.

Pour interpréter cette condition, remplaçons q par le carré du rapport des axes ; elle devient

cos ë

Or, en désignant par 0 l’angle des asymptotes avec l'axe» trans verse, on a

donc

(/«’ -t- b* cos 6. cos 9, ,

IDENTITÉ DES COURBES DU 2e DEGRÉ, ETC 33l)

d’où

6 9 et 2 6 2 9.

On voit par là que, pour placer une hyperbole sur un cône droit, il faut, que l’angle au sommet de ce cône soit au moins égal à celui des asymptotes de la courbe.

Dans la parabole, q = o; alors l’équation (4) donne, ou

sina = o, ou sin (a 4- 2 6) = 0.

La première valeur doit* être rejetée, puisqu’en la mettant dans l’équation (3), on aurait

et que l’équation ( 2) ne représenterait plus une parabole. On doi t donc prendre

-sin (a 4- 2 fi) = o.

Or a -4- 2 o est moindre que 36o degrés; il faut donc poser «4-26 = 0, ou a -f- 2 6 = 180".

On peut négliger Légalité a. -+- 2 1> = o , qui donne pour a une valeur négative. Quant à l’égalité « 4- 26 = 180°, elle montre que la ligne OX doit être parallèle à SB. C’est ce qui doit arriver dans le cas de la parabole. Ainsi , toutes les paraboles peuvent s’obtenir en coupant un cône droit par des plans.

Remarque. — Les ellipses ou les hyperboles que l’on trouve en coupant un cône droit par des plans parallèles, sont des courbes semblables. E11 effet, l’angle a restant le même, le coefficient de xs dans l’équation des sections du cône ne change pas : or ce coefficient représente , abstraction faite du signe, le carré du rapport des axes; ces derniers sont alors proportionnels,, et, par suite, les courbes de même nom sont semblables.