r sin a sin
sin2 a .
~ ï x * sin’7
équation qui représente une ellipse.
Pour que la section soit une circonférence, il faut que sin* a. — sin* y. Comme les angles a , y, sont moindres que 1 80 degrés , la condition sin* a = sin* y donne
a =7, ou a=i8o° — 7 = 5.
O11 obtient donc un cercle en coupant le cylindre par des plans qui forment avec AA' des angles égaux à BB'A' ou â. Le cercle obtenu en prenant a = â est encore nommé section antiparaUcle , ou sous-contraire.
CHAPITUE QL IK'/.IEME.
Définitions. Formules générales.
24 0. Jusqu'à présent nous avons déterminé la position des différents points d’un plan , en les rapportant à deux axes tracés dans ce plan; mais on peut fixer la position de chacun de ces points au moyen de sa distance MF (fig- 12g) à un point F donné sur le plan, et de l’angle MFG que la droite MF fait avec une droite FG connue de position.
Le point fixe F se nomme le pôle ou origine; la droite FG est l’axe polaire; la distance MF est le rayon vecteur du point M, et MFG est l’angle décrit par le rayon vecteur.
Le rayon vecteur FM et l’angle correspondant MFG sont appelés coordonnées polaires du point M.
Pour montrer la correspondance du rayon vecteur et de l’angle, on suppose qu’une droite FK , passant par le point F, soit d’abord appliquée sur FG et que cette droite FK tourne autour du pôle F, toujours dans, le même sens : alors un point pris arbitrairement sur cette ligne décrit un arc qui peut croître jusqu’à l’infini j et si FK tourne en sens contraire, l’arc décrit sera négatif et pourra croître jusqu’à — 00 . C’est cet arc qui mesure f angle formé par le rayon vecteur et l’axe polaire. Nous désignerons dorénavant par c>) l’angle dont il s’agit.
Quant au rayon vecteur FM , nous le représenterons par p, et il pourra recevoir toutes les valeurs possibles,
soit positives , soit négatives. Les premières se rapportent aux points situés sur le rayon vecteur même, et les dernières aux points placés sur son prolongement de l’autre côté du pôle.
D’après ce que l’on vient de dire, quand on donnera pour les variables u et p des valeurs particulières , on pourra fixer la position du point auquel se rapportent ces coordonnées.
Soient , par exemple , w = 3 it>° et p = 4 ; on prendra l’arc âyê = 3i6°, et l’on mènera la droite F6M', sur laquelle on portera dans le sens Fë la distance FM7 égale à 4- Si l’on donnait w = 3i60, et p = — 4> il faudrait prendre FM"= 4 sur le prolongement de FS de l’autre côté du pôle F.
241 .• Cherchons , maintenant, les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectilignes quelconques à un système de coordonnées polaires.
Soient AP et MP (fig- i3o) les coordonnées rectilignes d’un poiftt quelconque M rapporté aux axes AX, AY ; F le pôle , et FG l’axe polaire ; on aura
AP ~ x , MP = y-
L’angle MFG et la distance FM représentant les coordonnées polaires du même point , ou fera
MFG = m et FM — p.
Menons parallèlement .aux premiers axes les droites FX', FYy, qui coupent MP en D, et AX en H. Désignons par a et b les coordonnées AB, BF du pôle F; par « l’angle GFX', et par 9 l’angle YAX , ou Y' FX'.
On aura d’abord
x — a -F FD, y — b -y Ml).
Or, le triangle FMD donne
FD sin FMD sinY'FM FM ~ , sin MDF ~ suTmDX' ’
d’où
FD sin (6 — w — a)
P sin 0
FD = p..sin(9“W“a)-
sin 6
Un déduit du même triangle
MD sin MFD
ce qui conduit à
MF sin MDF
MD sin (m a)
p sin fl
sin (w -f- a)
MD = p.
sm 0
En portant ces valeurs de 1*’D et de MD dans celles de X et de j', on obtient
sin (0
sin 0
sin (u4- a) sin 0
Lorsque les coordonnées x, y, sont rectangulaires, on a fl = 90°,
(2) x = a -f- p.cos(w 4- a), J — b -4- p. sin (w a) ,
formules que l’on pourrait obtenir directement.
Quand l’axe polaire est parallèle à Taxe des x, a — o, et, en supposant les coordonnées x, y , rectangulaires, on trouve
x =z a - f- p cos u , y = b -f- p sin «.
Les formules (1) sont rarement employées, mais on fait souvent usage des formules (2). En partant de ces dernières formules, proposons-nous de transformer les coordonnées polaires en coordonnées rettilignes. Pourv oarvc-
nir, nous ferons remarquer que des formules (2) on tire successivement
x — a = p.cos(u -1- a), y — b = p. sin (o> -+- a) ,
tang(w + j) = î (àr — a)J+ (/ — b)*— p1,
X — fl
Les formules demandées sont donc
tang (m -f- a) = 5 p — ^(x — a)- ■+■ [y — 6)’.
Si l’on prenait l’axe polaire pour axe des x , et le pôle pour origine, 011 aurait
ce qui conduirait à
tang w = - , p — y/r’ -+• x7.
242. Distance de deux points en coordonnées polaires. — Soient O le pôle , OZ l’axe polaire, et M', M", les deux points considérés ( Jig . i3i). F.11 représentant par w', p', les coordonnées du point M'r et par u", p ", les coordonnées du point M" ; si l’on désigne par à la distance M' M", on aura, d’après une proposition connue ,
S7 = p + p"- — 2 p' p" COS («" — eu' ),
d’où
S — \Jpn -h p"1 — 2 p' p" cos ( m" — o>' ).
243. Équation polaire de la ligne droite. — Soient O le pôle, OZ l’axe polaire ( Jig . 1^2). Une droite AB sera déterminée de position , quand on connaîtra l’angle BAO=a quelle fait avec l’axe polaire, et la longueur p de la perpendiculaire OP abaissée du pôle sur cette droite. C’est donc en fonction de ces données que nous allons déterminer
sou équation. Pour cela , soit M un point quelconque de la droite; en faisant OM = p, MOZ = W, le triangle rectangle MOP donne
p = p.sin OMP = p.sinfMOZ — MAZ) = p.sin (w — a) ; d’où l’on tire ...
• sin (u — a)
Telle est l’équation de la droite.
En faisant w = o , on a
, = ' ■ sin a
ce qui détermine le point A de la droite. Si w croit depuis o jusqu’à a, les valeurs de p, toujours négatives, iront en
croissant numériquement depuis - - jusqu’à, l’infini , ce
qui donne la partie de la droite située au-dessous de l’axe polaire.
De w = a à w = 90° -f- « , les valeurs de p sont positives et décroissantes. L’équation donne alors tons les points delà partie de la droite placée au-dessus de l’axe polaire jusqu’au point P, qui est déterminé par l’hypothèse
w = « -+- 90°, .ou w — a = qo°.
En continuant de faire croître jusqu’à 180 degrés, les valeurs de p croissent depuis p jusqu’à OA, et font connaître la partie PA de la droite.
Remarque. — Lorsque la droite (1) passe parle pôle, on a P = o;
pour que p puisse prendre dillérentes valeurs, il faut qu'on ait aussi
sin ( ta — a ) = 0 , d’Ôl'l « = a. . .
Telle est, alors, l’équation de la droite. On la trouve aussi
(1 une manière directe en observant que toutes les valeurs de « sont égales à l’angle que la droite fait avec l’axe polaire, quelque valeur qu’on donne à p.
Si a = o, sans que p soit nul, la droite est parallèle à Taxe polaire , et son équation devient
sin si
Dans l’hypothèse a = 90°, la droite est perpendiculaire à l’axe , et l’on a
0 = ' — , ou a ~ — —
