hk'—h'k hh' 4- kk
Si les droites sont parallèles, tang 0 = o, et l’on a v hk'—h'k = o, comme précédemment.
Si elles sont perpendiculaires, tang0 = co , et l’on a hh' 4- kk' = o , et hk' — h' k < ou >o; conditions auxquelles on satisfait en posant h'—k, k'= — h.
L’équation d’une perpendiculaire quelconque à la première des droites précédentes sera donc
‘ k sin o> — h cos w
Si l'on voulait que cette dernière ligne passât par un point donné (w', p') , on trouverait
p'(X sino)' — h cost./)
‘ k sin w — h cos «a
Les problèmes sur la perpendiculaire se résolvent plus facilement lorsque l’équation de la droite donnée est sous
la forme p = . ; ^ En effet, pour qu’une autre droite r sjnfw — a) r ^
p = ^ !>- — soit perpendiculaire à la première, il suffit que
a! — a=go°; d’où a!— go°-f- a.
Cette valeur de a', portée dans la dernière équation, donne
p = -, > > ou p = - >
cos ( w — a J cos ( w — a)
puisque le signe de p' n’est pas déterminé.
La longueur de la perpendiculaire abaissée d’un point connu («', p') sur la première droite est
p' sin(w' — a) — p ,
expression qui deviendrait p' sin («' — a), si la droite passait par le pôle.
248. Équation polaire du cercle. — Soient r (fig . 1 34 ) le rayon CM de la circonférence ; p', w' les coordonnées polaires du centre C ; et p, w, celles d’un point quelconque, M, du cercle : la distance des points (p, u), (p', w') est
\jp -+- p'3 — app'cosfw — o)') (n°242).
En égalant cette distance à r et élevant au carré, on a l’équation du cercle
(l) p’ 2p'pCOs(u — w'J-t-p'3 — 7^ = 0.
Quelque valeur qu on attribue à w, on a pour p, deux va-
leurs dont le produit est constant et égal à p” — r*. D’où l’on conclut aisément les théorèmes relatifs aux sécantes et aux cordes démontrées ( n° 58).
Lorsque le pôle est intérieur au cercle, on a p' <V ; par suite , les valeurs de p tirées de l’équation (i) sont réelles, quelle que soit celle que l’on donne à «.
Quand le pôle est placé extérieurement , si l’on résout l’équation (i), l’expression
p = p' cos (w — w') ± s/r3 — p'1 sin3(w — ta'),
à laquelle on parvient , n’est réelle qu’autant que les valeurs attribuées à w donnent
r^> ou = p' sin ( « — ta').
L’expression
p' sin ( « — w' )
représente la perpendiculaire CK , abaissée du centre sur le rayon vecteur CM. On voit par là que les tangentes menées du pôle à la circonférence sont les limites de position des rayons vecteurs.
En plaçant le pôle sur la circonférence, on a P'= r>
l’équation (i) est divisible par p, et devient p = 2 r COS ( w — ta').
Si l’axe polaire passait par le centre, le pôle étant toujours sur la circonférence, l’équation serait
p =: 2 r cos ta.
Enfin, l’équation du cercle se réduit à p — quand le pôle se confond avec le centre.
249. Déterminer les conditions de V intersection et du contact de deux cercles.
Prenons pour pôle le centre O de l’un des cercles , et pour axe polaire la droite qui joint ce point au centre O' du second cercle. Désignons par r, r ', les deux rayons, et par p' la distance des centres. L’équation du premier cercle sera
et celle du second ,
p’ — 2p'p cosm -+- p'1 — r'1 = o.
En supposant que ces deux équations existent simultanément, on aura
r 3 — ap'rcosu -H p'1 — r'1 = o ;
d’où
cos w — —
Pour qu’il y ait intersection , il faut qu’on ait
cos « < l , ou r1 p'1 — < 2 p' r ; ce qui conduit à
On peut toujours supposer le pôle au centre du plus grand cercle, et regarder p' comme positif; alors l’inégalité précédente donne
f'O-t-r', et p' >/•—/•';
conditions connues.
Lorsque ces conditions sont remplies , on a cos w i , et, par suite, on trouve pour w deux valeurs dont la somme est égale à 36o degrés ; ce qui détermine deux points situés de part et d’autre de la ligne des centres, à égale distance de cette ligne. Si les deux points se réduisent à un seul, l’angle w sera nul , et cos w — i. Alors ,
On en conclut
r -J- r' — p' = o , ou r — p' — r — o ;
ce qui revient à
p' = r r', ou p' = r — / ;
conditions du contact des cercles.
250. Équation polaire de V ellipse. — Prenons pour pôle le foyer F' (fig. i36), et pour axe polaire le grand axe de la courbe. Le point M étant un point quelconque de la courbe, si l’on nomme o le rayon vecteur F' M , c la distance OF', et o) l’angle variable MF' X; en abaissant du point M la perpendiculaire MP sur l’axe polaire, le triangle rectangle MF' P donnera
F'P = p . cosu.
Or, on a vu (page 176) que
Mais
ex a’ ■+• ex
x = F' P — c = p cos u — c.
Substituant cette valeur de x dans l’équation p — ° CX •>
il vient
aJ -H c ( p cosw — c) a- — c! 4- c p cosu
d’où
a — c cos u a — c cos u
Divisant les deux termes du second membre par a, et faib 1 c
saut — — p. - — e , on a a ’ 1 a
1 — e cos u Cette équation caractérise 1 ellipse.
Eu effet, si l’on suppose d’abord w = o, on aura b !
Ce qui détermine le sommet A.
En faisant croître ti> de o à go degrés , les valeurs de p diminuent de a -t- c à p , et l’on obtient la partie de la courbe comprise entre les points A et K.
Pour les valeurs de œ renfermées entre 90 et 180 degrés, le cosinus étant négatif et croissant , le dénominateur de la
valeur de p augmente, et* par suite, p diminue de p à b*
— = a — c ; valeur qui correspond au sommet A'. La
seconde partie de l’ellipse se déterminerait en faisant varier w de 180 à 3<3o degrés.
251 . Équation polaire de V hyperbole. — En représentant par c la distance OF (fig. 1^7), par pie rayon vecteur FM , on a trouvé (page 232)
ex
— — a , ou p
ex
suivant que le point M est situé sur la branche qui renferme le foyer F, ou sur la branche opposée. Quelle que soit la position du point M, si l’on désigne toujours l’angle MFX par w , on a
x — c -t- p cos w ;
portant cette valeur dans les équations (1) , et faisant
on obtient
