e cos m

On ac^i, puisque c surpasse le demi-axe a.

36o CHAPITRE QUINZIÈME.

Nous ferons remarquer que dans les équations (i) , p doit être positif, et qu’alors cette hypothèse doit être maintenue dans les équations (a) et (3), déduites des équations (i). Dans ce cas, il faudra rejeter les valeurs négatives de la variable p; alors, l’équaliou (a) détermine une branche de l'hyperbole , et l’équation ',(3) détermine l’autre. Pour le prouver, nous allons discuter successivement les deux équations.

En supposant d’abord le rayon vecteur appliqué sur l’axe polaire, il faut faire u = o ; et l’équation (2) donne

Cette valeur est négative , puisque e surpasse l'unité. Il ne correspond donc à cette valeur aucun point de la courbe.

Puisque p est positif, le signe de p sera généralement celui du dénominateur 1 — e cos w ; or, en faisant croître u à partir de zéro , 1 — e cos w restera négatif jusqu’à ce qu’on ait

1 — e cos w = o , d’où

Si dans la dernière expression on remplace e par sa valeur - , on aura n

cos w —

Cette valeur de cos w. est celle qui convient à l’angle que l’asymptote OL (fi g- i3y) fait avec l’axe transverse. Donc, en menant par le foyer la parallèle FK à l’asymptote OL , cette parallèle est la limite jusqu’à laquelle s’élève le rayon vecteur, sans cesser d’être négatif. Représentons par v l’angle KFX. Lorsque l’angle o> surpasse e, le dénominateur 1 — e cos w devient positif. Pour u = v, on a

DES COORDOMNÉES l’OLAlRES.

Pour les valeurs de o> comprises entre v et 90 degrés , celles de p vont en décroissant, et lorsque « = 90°, on obtient

On trouve de cette manière l’arc NH.

Au delà de FH , w continuant d’augmenter, cos co devient négatif; scs valeurs absolument vont en croissant, et p diminue encore jusqu’à ce qu’on fasse w = 1800. Dans cette supposition,

cos w = — 1 , et , par suite , p = — — —

Cette valeur est celle du rayon vecteur FA , comme on le re-

connaîtrait facilement en remplaçant p par —■> et c par —

L’hyperbole se trouve déterminée jusqu’au sommet A.

De 1 80 à 36o degrés , cos w prend les mêmes valeurs , mais daus un sens inverse; d’où il résulte que ^i l’on fait l’angle R'FX égal à KFX, c’est-à-dire si l’on mène une’ parallèle à la seconde asymptote, on trouvera dans l’angle OFK', l’arc AH'N'.

Dans l’angle K'FX , le rayon vecteur est négatif, comme il l’était dans l’angle KFX.

Il est inutile de faire croître l’angle co au delà de 36o degrés, puisque le rayon vecteur prenant les mêmes positions et les mêmes valeurs que précédemment, on 11’aurait pas de nouveaux points de la courbe.

L’équation p = — ne donne que la première

* 1 1 — e cos «

branche de l’hyperbole.

Considérons, maintenant, l’équation p = — — • En

1 r 1 -+- e cos w

faisant varier w de o à 90 degrés , le dénominateur restant toujours positif, les valeurs de p ne cessent pas d’être né-

gatives ; au delà de 90 degrés, le cosinus devenant négatif, il en est de même du second terme e cos co ; mais les valeurs de p seront encore négatives jusqu’à ce qu’on ait