DES TANGENTES EN GÉNÉRAL
2o3. Nous avons dit qu on nomme tangente à une courbe en un point donné la limite vers laquelle tend la direction d une sécante que l’on fait tourner autour de ce point, jusqu à ce qu un second point d'intersection se rapprochant indéfiniment du premier, vienne coïncider avec lui.
Nous ferons observer qu’une droite, tangente à une courbe en un certain point, peut la couper en un ou plusieurs autres points.
Cela posé, cherchons 1 équation delà tangente menée au
point M {fi g- 139) d une courbe algébrique , dont l’équation
est supposée entière et rationnelle.
En appelant x', y' , les coordonnées du point de Contact , nous prendrons sur la même courbe un second point M', ayant pour coordonnées x/ -f- h , y' 4- A, et nous joindrons ces deux points par une droite indéfinie SMM'. Son équation sera
eu y ajoutant les équations
TANGENTES. • 365
qui expriment que les points M, M', appartiennent à la courbe proposée.
Développons la dernière équation, en ayant égard à celle qui la précède immédiatement; nous aurons
j;{x\ï)k+*fxy{x\/)± i+...
Si l’on fait tourner la sécante SMM' autour du point M, le rapport ~ > qui détermine la direction de cette droite,
variera et se présentera sous la forme quand le point M'
sera confondu avec M , puisqu’alors h et A sont nuis. Ce rapport, toutefois, n’est pas indéterminé, car la sécante tend nécessairement vers une limite fixe. Pour obtenir la
limite du rapport écrivons l’équation (3) sous la forme
suivante :
[*] Nous désignons , suivant l’usage, , J ./*>, etc., les dérivées
successives du premier membre de l'équation (i) prises par rapport à x seulement. De même, fÿ i, etc., représentent les dérivées relatives à
En divisant celte dernière équation par h , tous les ternies qui contiennent h à une puissance supérieure à la première renfermeront encore cette quantité. Alors, si l’on suppose que h tende vers zéro , les termes qui suivent le premier tendent aussi vers zéro, et l’équation qui détermine la limite cherchée est
/*(*'»/)+ /y (x'> J') hm. — o;
d’où
L’équation de la tangente, au point ( x y') de la courbe qui a pour équation f (x,y) — o, est donc
f.WS),
ou , ce qui revient au même ,
(7) fy [3f>y)^r — y')+fx (*'» /)■{* — *')
avec la condition
La formule (5) fait voir que le coefficient angulaire de la tangente à une courbe algébrique est le quotient, changé de signe des dérivées respectives du premier membre de l’équation proposée , prises par rapport àx et par rapport à y, et dans lesquelles on a remplacé ces variables par les coordonnées du point de tangence.
la variable y. La notation/" indique la dérivée de f 'x prise par rapport à y. En général, les dérivées de l’ordre n, relatives à x et à y, sont représentées respectivement par/™, , /"„. L’expression J " désigne la dérivée de
l'ordre «de en y considérant y comme seule variable.
TANGENTES
Il suit tic là que, si en résolvant l’équation de la courbe proposée par rapport à y , le second, membre est une fonction rationnelle et entière de x, le coefficient angulaire de la tangente sera la dérivée de cette fonction , dans laquelle dérivée on aura remplacé x par x' . Ainsi , J (x) étant une fonction rationnelle et entière de x, l’équation de la tangente à la courbe y =f (x) au point (x',y') sera
ï— ÿ = J' (x').(x-x'), avec la condition
Remarque. — Il se pourrait qu’on eût à la fois
AA y)- o, £[*•,/) = o, /;(.*',/) = o.
Dans ce cas, le premier terme de l’équation (4) disparait. En divisant par /i! tous les termes restants, et passant à la limite en faisant h — o, on a , pour déterminer la limite du rapport l’équation du second degré
Si les racines de cette dernière équation sont réelles et inégales, on en conclura que par le point donné [x\ y') on peut mener à la courbe deux tangentes dont les coefficients angulaires sont les racines de l’équation.
Considérons, par exemple, l’équation
on aura
^ («,r) = 3x!-3, fj[x,y)z= — o.y+2, fv(x>y) = °. /”*(*> y) = 6 jt, Ç(x,y) = — 2. En supposant
il vient
Par suite,
d’où
°> fxW>y') — °> (a'»/) = °>
Il en résulte que , par le point x' = i, = i, on peut mener à la courbe deux tangentes, qui ont pour équations
y — i = ±(* — i) yÆ-
Ce qui montre que deux branches de la courbe passent par ce point.
Nous verrons plus loin ce qui arrive lorsque l’équation (8) a ses racines égales, ou imaginaires, ou infinies.
254. On peut encore présenter la méthode des tangentes de la manière suivante :
Soient la courbe MM' ( fig . i3g) rapportée à deux axes quelconques AX, AY ; et M le point de contact, ayant pour coordonnées x\ y’. Menons par le point M la sécante quelconque SMM', traçons les ordonnées MP, M'P', et conduisons MG parallèle à l’axe des x. Les longueurs M'G, MG, seront les accroissements respectifs k et h de l’ordonnée et de l’abscisse du point M. En désignant par 0 l’angle des axes , et par « l’angle M'SX = M'MG , on aura
k sin a
h sin (0 — a)
Si l’on suppose actuellement que la sécante SMM' tourne autour du point M , de manière que le point M' se rappro-
TAKGEIVTES. 36’p
ehaht'indéfiniment de M, finisse par coïncider avec lui, la
valeur de h converge vers zéro, et le rapport j tend vers
une limite qui n’est autre chose que le coefficient angulaire de la tangente, MT, à la courbe au point M. Or, en regardant y comme une fonction de x , dans l’équation de la
courbe , la limite de j est celle du rapport de l’accroissement de la fonction à l’accroissement de la variable, c’està-dire la dérivée de la fonction. Par conséquent, le coefficient angulaire cle la tangente en un point d’une courbe , est la dérivée Jle l' ordonnée de ce point, considérée comme jonction de l’abscisse.
Quand l’équation de la courbe est y = J’ (x), ou peut être ramenée à cette forme, le coefficient de la tangente est
Mais, lorsqu’on a pour équation de la courbe, y ( x , y)= o, l’ordonnée étant une fonction implicite de l’abscisse, on obtiendra, en désignant par y le coefficient' angulaire de la tangente,
J r (•*'» /) + y/; (*'> rj — o,
d’où
En elfet, si l’équation J {x ,y) =o était résolue par rapport à y, on aurait
En mettant cette valeur à la place de y dans J'(x, r), on trouverait identiquement
Donc, la dérivée de J' (x, y), prise en y considérant^ comme une fonction dex, doit être nulle. Or, on démontre eu al-
;jy0 CHAPITRE SEIZIEME.
gèbre, qu’en désignant par y la dérivée de J prise par rapport à a:, la dérivée de la fonction composée J (.t , y) gst
f 'x (*> -r)+ 7 -fÿ (•*».*)•
Par conséquent, on a
Reprenons l’équation de la tangente
/; (*', /).Cr -/)+/;( .r', y') . ( * - x') = o, qui revieut à .
( ») fy (*’,/) ■ r+f'x [x',y').*-Jy (*',/ ) ■ y' -f'x (*'./)• *'= •».
Sous cette dernière forme , on reconnaît que l'équation de la tangente est , par rapport à x\ y du même degré que l’équation de la courbe.
Mais, en ayant égard à la condition / {.r', y1) = o , ce degré peut être diminué d’une unité.
En elïet , si l’.on désigne par
Aje” -+-...+ B xnyP . . . -t- C-v" ,
les termes du degré m dans l’équation/ (x, y) = o d'une courbe de l’ordre m, les termes du degré m, par rapport à dans l’expression
— m ky"". . mYixfy'r. ■ •— iwCx'”; .
car, on a :
f'y (*',/) = m A . . . -H/iB x"‘y’P-'-i-
y ^ /)= 4- n’üx'"-' ÿ*-\- • • • 4'hC.ï’"-1,
Par suite, en observant que p -h n — ni :
-fÿ {x',y’) y'—fx (*'>/)•*'
= m A /" . . . — m B x'“ y'P ... — m Cx'n ....
seront
TANGENTES. 371
Il résulte de là que si l’on ajoute l’équation de la tangente à l’équation de condition/ (x', y') = o, multipliée par m, tous les termes du degré m par rapport à x', y', disparaissant, l’équation de cette tangente ne sera plus que du degré (m — *) ) relativement à x' et à y'. Cette équation sera
. 255. Problème I. — Par Un point donné sur le plan d une courbe , mener une tangente à cette courbe.
Soient x", y'\ les coordonnées du point donné; x\ y\ celles du point de contact; et/(x, y) = o, l’équation de la courbe.
L équation de la tangente au point sera
avec la condition
La tangente passant par le point donné, on aura
i 3 ) fy (x’> y'-) • (r" - y') +fx (*', /) . ( x" — x') — o.
En résolvant les deux dernières équations, on obtiendra les coordonnées du point de contact. Mais, au lieu de faire ce calcul , il sera préférable de construire le lieu que représente cette dernière équation, quand on y regarde x', y' comme des coordonnées courantes, et de joindre au point donné (x ",y") les points où ce lieu coupe la courbe pro-' posée.
Lorsque l’équation f(x,y) == o sera algébrique et du degré m , l’équation (3) sera du même degré, m, par rapport à x',y . Mais celle dernière pouvant être remplacée par 1 équation (a) (n° 254), qui est seulement du degré (m i), les points de contact seront déterminés par l'intersection de la courbe donnée et d une ligne d’un degré inférieur d’une unité. Ce qui montre que le nombre des
tangentes qu'011 peut mener par un point à une courbe algébrique <lu degré ni est au plus égal à m. (ni — 1).
250. Problème II. — Mener à une courbe, f ( x, y ) = o, une tangente parallèle à une droite donnée, y =mx + n.
Soient x', y’, les coordonnées du point de contact-, le coefficient angulaire de la tangente sera-
fy (*\/)
La condition du parallélisme donnera
fj (-Pi /)
Comme les coordonnées x', y1, doivent vérifier l’équation de la courbe proposée, on aura encore
i .es valeurs des inconnues x , y ', seront déterminées par les équations (1) et (2). Mais, pour résoudre la question géométriquement, ou construira le lieu de la première, et parles points où il coupera la courbe proposée, on conduira des parallèles à la droite donnée.
257. Problème 111. — Mener une tangente commune à deux courbes données.
Soient J(x ,y) — 0, et F (x,j) = 0, les équations des deux courbes proposées ; ( x\ y'), (x",y"), les coordonnées inconnues des points où la droite demandée doit toucher respectivement la première et la seconde. ,
l es équations delà tangente au point (x',y') seront
7 ^ fy [*WY
TANGENTES
et celles de la tangente au point ( x" \yN) ,
Ces deux tangentes devant coïncider, on aura
/;(*'./) Fx (x"> y")
y -f- j/ . —t rr: v-f-
On a, ainsi, les équations (2) , (4), (5 ), (6), pour déterminer les quatre inconnues x', y', x",y" . De sorte que si l’on éliminait x", y", entre les trois dernières, on obtiendrait une équation
qui, jointe à l’équation (2) , donnerait les coordonnées du point où la tangente cherchée touche la première courbe. Il suffira donc de résoudre ces deux équations, ou de construire le lieu de l'équation (7), et de mener des tangentes à la première courbe, aux points où elle sera rencontrée par ce lieu.
258. Problème IV. — Trouver les relations qui doivent exister entre les coefficients indéterminés des équations de deux lignes, pour que ces lignes soient tangentes.
Deux courbes sont dites tangentes , lorsqu'elles ont unpoint commun, et en ce point une tangente commune. II résulte de là que, si une courbe qui en rencontre une autre, se meut jusqu’à ce que deux points d’intersection se soient réunis eu un seul, ccs deux courbes seront tangentes en ce point.
Soient f [x , y) =0, F (x , r) = o, les équations des
OU A pmi E SEIZIEME.
courbes proposées, el (x\ y) , les coordonnées du point de contact. Les conditions de la question s’exprimeront évidemment, en écrivant que les tangentes aux deux courbes au point [x',y') font le même angle avec l'axe des abscisses , et que les coordonnées de ce point satisfont aux équations de ces courbes. On trouvera ainsi les équations
,, , „ •£<*'> j") nv.y)
n*,r) = o, M*,r) = o, ^rjr, =■ çïîTjr,'
En éliminant x\ y', entre elles, l’équation résultante exprimera la condition nécessaire et suffisante pour qu’un même couple de valeurs de x\ y ', puisse les vérifier toutes trois , et sera, par conséquent, la relation demandée.
259. Une normale en un point d’une courbe est, comme on sait, la perpendiculaire à la tangente, menée par ce point. 11 résulte de cette définition , que l’équation de la normale à la courbe^ ( x,y ) = o , au point (#', y1), est, en désignant par 0 l’angle des coordonnées ,
fx (■*'» y') • cos 0 —f'y (x'' y ')
~ f'y [*', y') cos o — fx (*', /')
avec larcondition
Lorsque l’angle des coordonnées est droit, l’équation de la normale devient
fx W>7)
On voit facilement comment il faudrait opérer, s’il s’agissait de mener à la courbe une normale par un point extérieur, ou parallèlement à une droite donnée.
TANGENTES
Tangente à line courbe rapportée à des coordonnées polaires.
200. La tangente en un point donné M d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires, se détermine au moyen de l'angle qu’elle forme avec le rayon vecteur mené au point de contact.
Comme deux droites font deux angles différents , nous conviendrons de prendre l’angle que fait le rayon vecteur du point de contact avec la partie de la tangente qui serait dirigée au-dessous de l’axe polaire, si le rayon tournait autour du pôle pour se rabattre sur cet axe. Ainsi, au point M [Jig- 1 4o ) , l’angle est FMT, et au point M", FM"T". Le premier est aigu , le second est obtus.
Cela posé, appelons w et o les coordonnées du point de contact M, et o> -+- h , p -+- k les coordonnées du point M', de la courbe, voisin du point M. Tirons MM', et faisons tourner la sécante M'MS autour du point M, jusqu’à ce qu’elle devienne la tangente MT. La limite commune vers laquelle tendront les angles FM'S,FMS, sera l'angle demandé V. Si du point M on abaisse la perpendiculaire MP sur FM', le triangle rectangle MM' P donnera
rang FM'S = -,
MP
