Ou peut trouver facilement l'équation polaire de la
En cflèt, si l'on nomme o' , m', les coordonnées du point de contact; p , w, les coordonnées courantes de la tangente; p sa distance au pôle; on aura pour l’équation polaire de celte droite (nH 243)
p— . ,P et ü=p'.sinV, sin ( w' — a) = —
r sin (o) — a) ' r . ' p'
avec les deux conditions
en représentant par J {p, co) = o l’équation de la courbe.
262. Proposons-nous de mener par un point (o'\ à"), une tangente à la courbe/' (p, to) = o.
Nommons B le point donné; M le point de contact cherché; F le pôle, et désignons par p', o/, les coordonnées de M.
En appliquant au triangle FMB un principe de trigonométrie connu, il viendra
cotang
tan;;
Enjoignant à cette équation les deux suivantes :
tang V == p' . , /(P', *,') = <>,
on aura les équations nécessaires pour déterminer les coordonnées du point de contact.
263. S’il s’agit d’une tangente parallèle à Une droite donnée; en appelant a l’angle que cette droite fait avec
TAKUEKTES.
l’axe polaire, on verra facilement que V = a —
et , par suite, que
tang V = tang ( a — w' ).
On aura , pour déterminer les coordonnées p'} du point de contact, les deux équations :
tang (a — o>') = —
en désignant par/^p, «) = o l’équation de la courbe.
264. Appliquons la méthode des tangentes aux courbes du second degré.
Leur équation
(i) A Bxy -t- Cr^-t- Dj -+- Eæ + F = o
donne
fr{x, r) — 2 \y -+■ Bx D, fx(x, j) = 20 -+- B/ + E;
par suite, l’équation de la tangente au point (x\ y') est ?.Ci'+ B/' -4- E
ou
{ y — /) (îA/+ B.r'+ D) -F (■* — ar')(2Cx'+ B/’+ E) = o, avec la condition
(3) A/’+Bx'/ -+- C.r'*-+- Dy' 4-Eï' + F = o.
L’équation de la tangente se simplifie lorsqu’on y ajoute lo double de l’équation de condition ; en effectuant le calcul, on obtient
(?. A/+ Bx'-t- D) y -+- (2Cï'+ Br'+ E) x -t- D r'+ E *' 4- aF = o ,
CHÀHTIIE SEIZIÈME.
équation qui est du premier degré par rapport aux cooi données y , x , du point de contact.
Pour l’ellipse h'x' — a' b' — 0, on a
f 'x{x\ /)'— 2 b' x', fy ( x y') =z 2 a1/ , et 1 équation de la tangente devient
On trouve, de même, que l’équation delà tangente à l’hyperbole
a* y* — b'x7 + a3 b- = o est
Quant à la parabole y* — 2 px = o, on a
J* (•*'> y") — — 2iP. fy (*', /) = 2 y,
et, par suite, la tangente au point (x', y') a pour équation y~/— y (x—x').
26d. Supposons, maintenant, que la tangente doive passer par un point quelconque [x",y") donué sur le plan de la courbe
'+]) y + Ex + F = o,
En prenant pour inconnues les coordonnées x', y du point de tangence, on aura
A y'7 -+- B x'y’ +C*"+ Dy' +Kæ'+F = o,
( 2 A y -|- Bx'-t- D ) y" -(- ( 2 Cx1 B y '-4- E) x"
-t- D y’ -t- Ki'+ 2 F = o.
Dans ces deux équations, on peut considérer y', x', comme des coordonnées courantes; alors, la dernière représente
TAtNC.F.MT.S.
une droite dont l’intersection avec la courbe proposée détermine les points cherchés, c’est-à-dire la carde des contacts. En unissant le point donné aux points d’intersection de la droite et de la courbe, on aura les tangentes demandées. •
Si l’on place l’origine au point donné (jr", y"), l’équation de la corde des contacts devient, en supprimant les accents,
Dr -4- E.r -t- 2 F = o.
On déterminera cette droite par la construction suivante, qui s’applique aux trois courbes du second degré:
Soient A ( fîg . 1 4 1 ) le point donné, et BCDE la courbe. Menons par le point A deux sécantes quelconques ABC , ADE, et les droites BE, Cl); DB, CE, qui se coupent, les deux premières en F, et les deux autres eu F'; la droite FF' sera la corde des contacts cherchée.
En effet, prenons pour axes des .r et des y, les sécantes ADE, ABC , et posons
AD = a , AE — a', AB = b , AC — b'-, l’équation de la courbe sera
A/5 -4- B xy + Ci’+ D>' -4- E.r F = o , et, de plus, on aura
, E , F n -4- a — — — , an =
b-h // = --, bb' = - ;
d’où
(■) aa' ~~ F ’ bb' ~~Y
D’ailleurs, les équations des droites BE, CD, sont
382 CH APITHIï SEIZIÈME.
En ajoutant ces équations, il vient :
ou
Ex
ou Lion encore
Dr -f- Ex + îF ~o.
Cette dernière équation est, comme on sait, l’équation de la corde des contacts des tangentes menées du point A.
Or, les coordonnées du point d’intersection F des droites BE , CD, doivent vérifier toute combinaison des équations de ces droites ; donc elles satisfont à l’équation
Dy -t- Ex + ?. F = o.
Par conséquent, le point F appartient à la corde des contacts cherchée. On verrait de même que le point F' est sur cette corde. C’est ce qu’il fallait démontrer.
266. On a vu(n°252) que les courbes du second ordre ont pour équation polaire
I — c cos w
La dérivée de — est
i — c cos w
pc sin w ( i — e cos w)*
On aura donc
__ p i — e cos w'
tanS V ,= — r- r — —
pc sin w
on > Parce <iu,: p' = ’
t;mg V =
cos M
( i — c ros '■/ )
TANGENTES
„ Pour la parabole , e = i . Il en résulte :
tant' V —
( l — COS «' )
