SI II — cos
tîl , par suite,
tang V = — rang — »
Ce qui montre que la tangente est parallèle à la bissectrice de l’angle que le rayon vecteur mené au point de contact fait avec l’axe polaire. Ou en peut conclure immédiatement que la distance du pâle au point oh la tangente coupe l’axe polaire est égale au rayon vecteur mené au point de tangence.
Pour que la tangente soit perpendiculaire au rayon vecteur conduit au point de contact , il faut que tang V = oo . Ce qui donne
c sin m — o ;
par conséquent,
»'= o , ou «' = 180".
ensuit :
ou
Ces valeurs correspondent aux sommets de la courbe,
DES ASYMPTOTES
§ I. — Asymptotes d’une courbe rapportée à des coordonnées rectilignes.
207. L'équation y — ex -+■ d étant celle d’une asymptote non parallèle aux ordonnées, nous avons vu (n"88) que
c = lim-) et d — linrt ( y — ex).
Proposons-nous maintenant d’exposer la méthode à suivre pour calculer ccs deux quantités c , d, dans les courbes algébriques en général.
Soit f(x, y) — ° l’équation d’une courbe' de l’ordre m ; réunissons les termes du même degré, nous pourrons écrire l’équation sous la forme suivante :
fti Ji s Jii etc., désignant les groupes de termes des degrés m, in — i , ni — 2 , etc.
E11 prenant pour inconnue le rapport variable - de l’ordonnée à l’abscisse d'un point de la courbe, nous poserons
— =c k , ou y ~ kx ;
l’équation (1) deviendra
(2) /,(*; kx) +/(t, kx) +ffr, k,t) 4- , . . = o.
DES ASYMPTOTES
Les termes d cf0 (x, kx) contenant, tous, x à la puissance m; ceux de j\ (x, kx) renfermant cette variable à la puissance m — i , et ainsi de suite ; les multiplicateurs des puissances rn , m — i , rn — 2, etc., de x, seront les valeurs que prennent les polynômes fo(x , y),ft (x, y), etc., lorsqu’on y remplace x par 1 , et y par k.
Si l’on divise l’équation (2) par x"‘, elle prendra la forme
La valeur de x tendant vers l’infini , et k convergeant vers une valeur finie c, tous les termes, à partir du second, s’annulent à la limite, et l’on a
D’après cela, on voit que les coefficients angulaires des asymptotes sont les racines de l'équation obtenue en égalant à zéro F assemblage des ternies du plus haut degré de V équation de la courbe proposée , dans lesquels on remplace x par 1 et y par c.
Cherchons actuellement la valeur de J, c’est-à-dire l’ordonnée à l’origine de l’asymptote.
A cet effet, désignons par h la différence variable y — ex, dans laquelle y et x représentent les coordonnées d’un point quelconque de la courbe , et c une racine réelle de l’équation f„ ( 1 , c) = o. On aura
y — CX = h\
d’où
Si l’on remplace k par c + - dans l’équation (3), il
viendra :
CITAPITHE DIX-SEPTIÈME.
Mhc)+f.^,c)h
Eu observant que f0 (i , c) = o , et en multipliant paroles termes de l’équation ( 5) , on trouve
Lorsque .r croît indéfiniment, h converge vers une valeur finie d, et à la limite x — cc, l’équation précédente se réduit à
d’oii
ft ( L g) (L c)’
Ainsi, en désignant par m le degré de l’équation de la courbe , l’ ordonnée à V origine de l’asymptote est égale et de signe contraire à la partie de degré (m — i) de l’équation de la courbe , divisée par la dérivée relative à y , de la partie de degré m , x et y étant remplacés par i et c.
Lorsque osera une racine simplede l’équation i/’0(i,c)=o, la dérivée f\ (i, c) ne pouvant être annulée par cette racine, l’cquation ( 7) donnera pour l’ordonnée à l’origine d. une valeur finie, correspondante à celle de c.
Si c est une racine multiple de f0 (1, c) =0, 011 aura
et, en admettant que J\ (1, c) 11e soit pas annulé par la
DES ASYMPTOTES. 387
même valeur de c , il en résultera d== co ; et, par conséquent, il n’y aura aucune asymptote, sous l’inclinaison déterminée par cette valeur de c.
Quand la racine multiple de J„ ( t , c) =o annule /, (i,c), le terme de l’équation (6), indépendant de .r, disparait, et en multipliant par x les termes qui restent, et passant à la limite en faisant x = oc , cette équation donne
('» c)cf-+f[ (t, c)d c) = O.
Dansée cas, on pourra trouver pour d deux valeurs correspondantes à celles de c, et c’est effectivement ce qui doit arriver lorsqu’il existe réellement deux asymptotes parallèles, dont le coefficient angulaire est égal à c.
Que, si la même valeur de c annule encore/'' (t, c), f\ (i, c), /5 (i, c) , ce qui exige que c soit au moins une ' racine triple de l’équation Jo (i , c) = o, il faudra, pour déterminer les valeurs correspondantes de </, avoir recours à l’équation
-L/;(i,e)rf'14- i/T (I, c)tP+f; (t ,c)<l -t-/,(t,c) = o.
C’est ce qui aurait lieu si la courbe avait trois asymptotes parallèles, dont le coefficient angulaire serait cette racine de l’équation /0 (i, c) = o.
On opérerait de même pour déterminer les valeurs de d, correspondantes à quatre asymptotes parallèles , et ainsi de suite.
11 résulte de ce que nous venons de dire que le nombre des asymptotes non parallèles à l'axe des y , ne peut surpasser le plus grand des exposants de y , dans ! équation de la courbe proposée.
En effet, le nombre des asymptotesdontil s’agit, estauplus
égal au degré de l’équation f0 (i , c) = o , et le degré de cette équation ne peut être supérieur au pins grand des exposants de dans l’équation de la courbe.
2(>8. Pour déterminer les asymptotes parallèles à l’axe des y, on observe que, si x — <x est l’équation de l’une de ces droites, il faudra qu’en faisant converger x vers a, à partir d’une valeur (a ± Æ), suffisamment rapprochée de a, l’ordonnée de la courbe augmente indéfini- , ment et devienne plus grande que toute quantité donnée. A la limite [x = a), y devient infinie. On trouvera donc a. , en cherchant les valeurs finies de x qui correspondent à des valeurs réelles infinies de y dans l’équation proposée.
D’après cela, on ordonne l’équation de la courbe suivant les puissances décroissantes d ey; elle prend la forme
(i) Ajr" -+- BjP •+■ Cyr+. . . = o ,
A, B, C, etc., représentant généralement des fonctions de x.
En divisant par y", l’équation (i) devient
et il est clair que toute valeur finie de x correspondante à y= ao , doit annuler A.
Donc, pour déterminer les asymptotes parallèles à l'axe des y , il faut résoudre l'équation que l’on forme en égalant il zéro le coefficient de la plus haute puissance de y , dans l'équation de la courbe proposée .
J1 s’ensuit que le nombre des asymptotes parallèles à l'axe des y ne peut surpasser le degré de x dans le coefficient du terme qui renferme y à la plus haute puissance.
De sorte qu’en désignant par ni le degré de la courbe, et par n le plus grand exposant de y, le nombre des asymptotes parallèles à l’axe des y est au plus m — n.
UES ASYMPTOTES. 389
On sait, d’ailleurs, que le nombre des asymptotes non parallèles à l’axe des y n’esl pas supérieur à n.
Donc , une courbe du degré m ne peut avoir plus de ni asymptotes rectilignes.
Nous devons faire observer que l’on peut obtenir pour c et d des valeurs réelles et finies, sans que la droite y — ex d , déterminée par ces valeurs , soit réellement une asymptote.
Il résulte du raisonnement qui a été fait, que si la courbe a des asymptotes, on les obtiendra par la méthode exposée ; mais, cela ne prouve pas que les valeurs de c et de d obtenues par cette méthode donnent, dans tous les cas, une asymptote de la courbe. "
Il eu est de même des droites parallèles à l'axe des j", déterminées par l’équation A=o (tt° 207). Il est possible qu’elles ne soient pas réellement asymptotes à la courbe représentée par
(i) Ar" + Byf+Cy'+...=o.
Si l’on désigne par a une racine réelle de A = o, il faudra, pour que la droite x = a soit asymptote à la courbe, qu’en faisant converger x vers a. , à partir d’une certaine valeur a -+- h , ou a — h , les valeurs correspondantes de y dans l’équation de la courbe restent constamment réelles. En d’autres termes, il faut que la courbe ait une branche infinie déterminée par les valeurs de x convergentes vers a.
Considérons, par exemple, la courbe représentée par 1 équation
x* y' — lyx' -4- 2 x1 — i = o.
En appliquant la méthode des asymptotes non parallèles à l’axe des y , on trouve
c = o et il— i .
Ce qui donne la droite y = i , parallèle à l’axe des x.
Or, l’équation
x7y2 — iyx2 + 2j! — 1 = 0
revient à
Sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu’elle représente une courbe limitée dans le sens des x, de chaque côté de l’axe des y, à une distance de cet axe, égale à l’unité, èt qui , par cela même, ne peut avoir d’asymptote parallèle à l’axe des x.
209. Une asymptote peut être considérée comme la limite des positions que prend une sécante, dont deux points d’ intersection avec la ctfurbe s'éloignent à l'infini.
En effet, si l’on regarde dans l'équation (5) du n° 266, c et h comme des quantités données, les racines de cette équation seront les abscisses des points de rencontre de la droite y — ex- f- //, avec la courbe f [x , y ) = o. Pour que deux de ces points s’éloignent à l’infini , il faut qne l’équation (5) ait deux racines infinies, ce qui exige, comme on le démontre en algèbre, que les coefficients f, (1, c), /; (1, c) h -\-fi (1, c), des deux premiers termes, soient nuis. Les valeurs de c et h fournies par les équations
sont celles qui rendent la sécante y = ex -f- h , asymptote à la courbe.
On peut , de même, considérer une asymptote comme la limite des positions que prend une tangente dont le point de contact s’éloigne à l'infini.
Car il est permis de supposer que les deux points d’intersection se réduisent à un seul, avant de s’éloigner à l’infini.
On voit facilement qu’une courbe algébrique du degré m ne peut être coupée par une asymptote en plus de ( m — 2. ) points.
UES ASYMPTOTES
En effet, le nombre des racines finies de l’équation (3) ne peut surpasser (ni — 2), puisque deux de ses racines deviennent infinies.
§ II. — Asymptotes d'une courbe rapportée à des coordonnées polaires.
270. La détermination des asymptotes aux courbes rapportées à des coordonnées polaires , résulte de la définition môme de ces lignes. Représentons, en effet, par m' une valeur de w pour laquelle le rayon vecteur p devient infini; en prenant sur la courbe un point quelconque M ( fig . 142), et en abaissant de ce point une perpendiculaire, MP = z , sur le rayon vecteur OD , ou aura
5 = p sin ( «' — w ) ;
« étant l’angle quelconque MOX.
La limite vers laquelle tendra z, lorsque l’angle w convergera vers sera la distance de l’asymptote à la direction du rayon vecteur infini. Lorsque cette limite est zéro , on en conclut que la droite qui fait l’angle avec l’axe polaire est asymptote. Mais, si l’on trouve
lira p . sin ( w' — *> ) = ± h ,
l'asymptote sera une. parallèle à celte droite, située au-dessus ou au-dessous d’elle à la distance h. Enfin , si z n’a pas de limite, il n’existe pas d’asymptote qui fasse l’angle «' avec l’axe polaire.
Pour déterminer la limite de p sin (t>>' — w), on observera que
Quand «= les deux termes de la fraction
sin («' — w)
se réduisent à zéro, et la vraie valeur de cette fraction s’obtient, comme on sait, en remplaçant eo par w' dans les dérivées de ses deux termes. Or, la dérivée desin (ta' — w) est
— cos (&>' — w),qui devient — 1, lorsque w = eo'. Par conséquent, pour déterminer la limite cherchée, on divisera
— 1 par la valeur que prend la dérivée de la fonction de w
que - représente, en ayant soin de remplacer w par w' dans cette dérivée.
Considérons, par exemple, l’hyperbole dont l’équation polaire est
on aura
1 ■ — e cos co
1 1 — e cos eo v
et , par suite , la dérivée de - est
En divisant — 1
c.sinco
par cette dernière expression , il vient :
e sin co
O11 en peut conclure que les distances des foyers d’une hyperbole aux asymptotes sont égales à la moitié du second axe delà courbe.
DU CENTRE, DES DIAMÈTRES ET DES AXES. 3g3
§ I. — Du centre.
271 . Nous avons dit qu’ on nomme centre d'une courbe un point tel, que toute sécante passant par ce point, a ses points de rencontre avec la courbe à égale distance , deux à deux , du point dont il s’agit.
Il résulte de cette définition que si l’origine des coordonnées est placée au centre d'une courbe quelconque, l'équation de cette courbe ne doit pas changer en y remplaçant x et y par — x et — y. En efl’et, considérons une sécante menée arbitrairement par le centre O ( fig . i43), elle poupera la courbe en des points qui seront, deux à deux, équidistants de O. Soient M,M', deux de ces points 5 en traçant les ordonnées MP, M'P', de ces points, nous formerons deux triangles MOP, M'OP', qui seront égaux comme ayant le côté OM égal au côté OM', et les angles MOP, OMP, respectivement égaux aux angles M'OP', OM'P' ; donc, MP = M'P', OP =OP'; par conséquent , les coordonnées du point M' sont égales et de signes contraires à celles du point M. D’où il résulte, que s’il y a sur la courbe un point M dont les coordonnées soient x', y', il existe nécessairement sur cette courbe un second point M' dont les coordonnées sont — x', — y' . On conclut de là, que l’équation de la courbe 11e doit pas changer eiry remplaçant x et y par — x., — y.
Réciproquement , si l’équation d’une courbe n’est pas
3g4 CHAPITRE DIX-HUITIÈME.
altérée lorsqu’on y change x et y en — x, — la courbe a un centre, et ce centre est l’origine des coordonnées.
En effet , les coordonnées d’un point M quelconque de la courbe étant , par exemple , x', ces coordonnées prises en signe contraire appartiennent à un autre point M' de la courbe. En menant les droites OM,OM' ; les triangles OMP, OM'P', seront égaux, comme ayant un angle égal compris entre côtés égaux, à savoir : P = P',OP = OF,PM = P'M'. Donc, les angles MOP, M'OP', seront égaux; par suite, OM et OM' sont en ligne droite ; en outre , OM = OM'; donc, l’origine O est un centre.
Ainsi, pour que l’origine des coordonnées soit le centre d une courbe, algébrique ou transcendante , il faut et il suffit que l’équation de celte courbe ne soit pas altérée, lorsqu on y remplace x et y par — x et — y.
272. Lorsque la courbe proposée est algébrique, la condition que nous venons d’énoncer revient à celle-ci : pour que l’origine des coordonnées soit le centre d’une courbe algébrique , il faut et il suffit que tous les termes de l’équation soient de même parité , c’est-à-dire tous de degré pair, ou tous de degré impair.
On voit, en effet, qu’en remplaçant x et y par — a: et — y, dans le premier cas, les termes conservent leurs signes; et que dans le second, ils en changent tous à la fois.
11 est clair que, dans ce dernier cas, il ne doit pas exister de terme indépendant des variables.
273. Il résulte de ce qui précède, que le centre d’une courbe algébrique de degré impair est situé sur la courbe , puisqu’on y transportant l’origine, l’équation de la courbe n’ayant plus de terme indépendant des variables, cette équation sera vérifiée par les coordonnées du centre x = o,
DU CE3NTRE, DES DIAMÈTRES ET DES AXES. 3g5
Le centre d’une courbe de degré pair peut être situé, ou non situé, surlacourbç.
274. Il convient de faire observer que lorsqu'une courbe a plus d’un centre, elle en a nécessairement une infinité.
Soient, en effet, O, O1 (fig. 1 44 ) > deux centres d’une même courbe, et M un quelconque de ses points. Si l’on mène la droite MO, et qu’on la prolonge de l’autre côté du centre O, d’une longueur OM' égale à OM, le point M7 appartiendra à la courbe. On aura deux autres points N , N', de cette courbe, en joignant M et M' au centre O', et en prenant sur les prolongements des droites IVjlO', M'O', les distances O'N, O'N', respectivement égales à O'M, O'M'. Le quadrilatère MM'NN' sera un parallélogramme, puisque les diagonales MO'N, M'O'N', se coupent mutuellement en deux parties égales; d’ailleurs, le point O est le milieu de MM', donc la droite OO' est parallèle aux côtés MN', M'N , et passe par le milieu O" de NN', et de plus 0'0" = OO'. Le point O" divisant en deux parties égales la droite quelconque NN* comprise dans la courbe , sera encore un centre de la courbe. Semblablement, les deux centres O', O", en détermineraient un nouveau O'", et ainsi de suite indéfiniment. On peut d’ailleurs opérer à gauche comme à droite du point O. Les distances 00' et O' O" étant égales , il en est de même de celles qui sont comprises entre les centres consécutifs. Donc , enfin , quand une courbe a plus d’un centre, elle en a tme infinité situés sur une droite , et également distants entre eux (*).
Déplus, toute parallèle à la droite des centres menée
(*) On verra de même que si une courbe a trois centres 0,0', O" (fg- >45), non situés en ligne droite, elle admet pour centre le quatrième sommet O"' du parallélogramme construit sur les droites 00', O' O". Car, soit M un point quelconque de la courbe; construisons le quadrilatère dont les trois côtés MM', M7 M", M" M'", aient respectivement leurs milieux aux points O, O', O". Les quatre sommets de cc quadrilatère
par un point M de la courbe , la coHpe en une infinité de points; car les prolongements des droites qui unissent M' aux différents centres O', O", O'", etc., rencontrent évidemment la courbe en des points N', N", N'", etc., situés sur une parallèle menée par M à la droite 00' O". . . .
De là on conclura qu’une courbe algébrique ne peut avoir qu'un seul centre , puisqu’une droite ne peut rencontrer cette courbe en un nombre de points supérieur au degré de son équation.
Nous allons démontrer actuellement, parla forme ironie d’une équation algébrique, que s’il existe deux points O, O', tels qu’en les prenant pour origine, l’équation ne change pas lorsqu’on y remplace x et y par — x , — y, cette équation ne peut représenter qu’un système de droites parallèles à la droite 00'.
Car, en plaçant l’origine au point O , et prenant pour axe des x la droite OO', l’équation devra être indépendante de x. Supposons, en effet, qu’elle puisse contenir celte variable , et désignons l’équation par
Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mèmes au point O', il viendra, en nommant d la distance 00',
f(x+d,jr)== o, ou
(2) /(*>?)+/* (•*>Jr)d + - ■ •— o.
Le terme de fx (x,j ') qui renferme la plus haute puissance de x ne pourra être détruit par aucun autre, parce
appartiendront â la courbe, et le côté M"' M aura, comme on sait, son milieu au point Ow; donc ce dernier point est un centre. Il s’ensuit que la courbe admettra pour centres toutes les intersections de deux systèmes de parallèles aux droites OO', CVO", cl ayant entre elles les mêmes distances que les côtés opposés du parallélogramme 00' O" O'".
* qu’il est par rapport à x d’un degré supérieur à ceux des dérivées suivantes, et qu’il n’est semblable à aucun des termes dcy’(x, y ) qui sont tous de même parité. Il en résulte que si x entrait dans la première équation, tous les termes delà seconde ne seraient pas de même parité; donc l'équation (i) ne contiendra que y, et, par conséquent, elle représentera un système de droites parallèles à l’axe des x.
27o. Il suit de la théorie précédente, que pour trouver le centre d’une courbe algébrique donnée par son équation, il faut, après s’être assuré qu’il n’est pas à l’origine même, transporter l’origine en un point quelconque du plan , et voir si l’on peut déterminer les cordonnées de ce point de manière qu’il ne reste dans l'équation aucun terme de degré impair si la courbe est de degré pair, ou aucun terme de degré pair si la courbe est de degré impair. On obtiendra ainsi un certain nombre d’équations où il n’y aura d’inconnues que les coordonnées de la nouvelle origine.
Nous allons faire voir que parmi ces équations il en existera deux qui ne seront que du premier degré. En effet, soient m le degré de l’équation ; a , b , les coordonnées du centre. D’après ce que nous venons de dire, a et b doivent avoir des valeurs telles, qu’en transportant l’origine au point dont a et b sont les coordonnées, la nouvelle équation ne renferme plus de termes de parité différente de m. Ou substituera donc x + a, y b à aretjy dans l’équation proposée, et on égalera à zéro les coefficients des termes de degrés (m — i),(m — 3),(m — 5), etc.; ce qui formera autant d’équations entre a et b qu’il y a de termes à faire disparaître.
Parmi ces équations, il s’en trouvera au moins deux qui ne seront que du premier degré. Pour le prouver, soit A xpyi un terme du degré tu ; la substitution de .r-+- a et y -f- h à x et y donnera le terme p A nxp~ly‘< du degré
398 chapitre Dix-huitième.
(m — 1) ; on aura , en outre , deux autres termes en xp~*yi, à savoir : le terme provenant du terme en xp~ly+t, et qui sera delà forme (q -+- 1) A'bxp~'yi, et le terme provenant du terme en xp~l r7, qui est de la forme Bar''-1 y7; de sorte qu’on aura l’équation
On trouvera, de môme, le terme q Abxp yi~l ; un terme (p -+- 1) A" axp y i~l donné par le terme A"x,,+' , et en-
fin B ’xpy'l~i appartenant déjà à l’équation proposée; on aura donc
(2) 7 Aô -I- (p 4- 1) k" a -+■ B' = o.
En résolvant les équations du premier degré (1) et (2), on obtiendra les valeurs de a et b , et en remplaçant ces quantités a, b, par leurs valeurs, dans les coefficients de tous les autres termes qui doivent disparaître, il faudra, si la courbe a un centre, que tous ces coefficients se réduisent à zéro. Dans ce cas, a et b seront les coordonnées du centre, et ce point sera déterminé par l’intersection de deux droites que les équations (1) et (a) représentent.
En appliquant cette méthode aux courbes du second degré, les premiers membres des équations (1) et (2) deviennent les dérivées relatives à x etjy du premier membre de l’équation de la courbe, dans lesquelles x et y sont remplacées par a et b respectivement.
§11. — Des diamètres.
276. On nomme diamètre d’une courbe, le lieu géométrique des milieux d’un système de cordes parallèles, menées sous une direction quelconque donnée.
Proposons-nous de trouver l’équation générale des diamètres d’une courbe déterminée par son équation.
Soient f(x, y) = o, l’équation de la courbe, que nous
DU CENTRE, DES DIAMÈTRES ET DES AXES. 3l)0 supposerons rationnelle, entière, et du degré »»; AB, A' B', etc. {fig- i46) , un système de cordes parallèles dont le coefficient angulaire est d ; x', y \ les coordonnées du milieu O' de l’une de ces cordes-, transportons l’origine au point O', l’cquation de la courbe rapportée aux nouveaux axes sera
et celle dé la corde AB,
(2) y = Sx.
Puisque la nouvelle origine est le milieu de AB, il faudra qu’en éliminant y entre les équations (1) cl ( 2) , l’équation * résultante •
(3) f{x + x', Sx +y) = o
ait deux racines égales et de signes contraires.
Cette condition s’exprimera par une équation ernre ses coefficients; et cette dernière ne contenant d’autres variables que x ', y\ sera l’équation du lieu géométrique des milieux de toutes les. cordes placées sous la direction donnée, c’est-à-dire l’équation générale des lignes diamétrales.
Supposons, par exemple, que l’équation f (x,y) =0 de la courbe proposée soit du troisième degré; si l’on remplace x et y par x 4- x', et dx-+-y\ il viendra , en adoptant la notation des dérivées, expliquée (page 365) :
+ 2 *rv
-f- fy >
ou ■
( 5 ) «x -+• lix1 -t- ex -f~ (l — o ,
en posant
/;. 4- 3 if h- 3 *>/£. h- 1.2.3
/(*', y) = rf.
Pour que l'équation (5) ait deux racines égales et de signes contraires, il faut, et il suffit qu’elle admette pour
■ racine ; c est-a-direque
d’où
6c = «rf.
Par suite, on aura :
pour l’équation générale des diamètres des courbes du troisième degré.
Il est facile de reconnaître que l’équation (a) est aussi du troisième degré; carie multiplicateur de/ (x\ y') est indépendant des variables x', y', et les facteurs
sont l’un du premier degré , et l’autre du second.
Lorsque les cordes sont parallèles à l’axe des x, le coefficient â = 6, et l’équation (a) devient
Si les Cordes sont parallèles à l’axe des y , o — cc , et l’on
DU CENTRE, MES DIAMÈTRES ET DES ANES. j\oi
trouve
f.c calcul conduit généralement à line équation du degré
m ^ ^ ; comme il est facile de le prévoir 5 car une courbe
du degré ni peut être, en général, coupée par une droite en m points, et en prenant les milieux des intervalles déterminés par ces m points d’intersection considérés deux à
deux, on aura sur Ja sécante rectiligne — y- - — - points qui
appartiendront au diamètre relatif aux cordes parallèles
à cette sécante. Ainsi, le diamètre peut être coupé en
— 1 points, par une droite.
277. Appliquons cette méthode aux courbes du second degré dont l’équation est
A + Bxy -1- Cx’-f- Dr -4- Ex-f- F = o.
Si l’on remplace xetj, par x -+- x' , y -+- y1, les termes du second degré ne changent pas, et ceux du premier degré, x,y, ontpour coefficients lesdérivées relatives à x et y, du premier membre, dans lesquelles x et y sont remplacées par x' et y1 (n°95). Donc, en désignant ces dérivées par fxijji et substituant âx à y, l’équation résultante aura pour terme du premier degré (y;+/;. ?) x.
Pour que cette équation ait ses deux racines égales et de signes contraires, il faut et il suffit que le coefficient de la première puissance de X soit nul; par conséquent, lequation des diamètres est
Oll ■
(a A y •+- Bx D) 3 -t- Br a Cx E = o.
D’après cela , ou voit que les diamètres des courbes du second degré sont des lignes droites.
L’équation (i) donne
et comme celte valeur de â est précisément le coefficient angulaire de la tangente à la courbe au point où cette courbe est rencontrée par le diamètre, on en conclut que:
Dans les trois courbes du second degré, la tangente à ' V extrémité d’un diamètre est parallèle aux cordes que ce diamètre divise en parties égales (*).
L’équation (t) est satisfaite, quelque soit d, par les valeurs de x et de y, qu’on déduit des équations
/*'=<>> fr — o.
Or, ces dernières déterminent le centre de la courbe ; doue, dans l ellipse et. l'hyperbole , tous les diamètres passent par le centre (**).
Tous les diamètres de la parabole sont parallèles; car, lorsqu’il s’agit de celte courbe, les valeurs de x et de y, données parles équations
J ‘c = » , fy ~ ° .
sont inlinics.
Ce parallélisme peut être établi de cette autre manière.
(*) Les tangentes menées à une courbe quelconque, aux points où elle est coupée par un de ses diamètres, sont généralement parallèles aux cordes que ce diamètre divise en parties égales. Car, en faisant abstraction de certains points singuliers dont nous parlerons plus loin , on peut considérer la tangente comme la limite des positions que prend une corde parallèle à celle tangente, lorsque deux des points d'intersection de la ccrde avec la courbe se réduisent au point de contact.
(**) Lu general, lorsqu'une courbe a -un centre, tous les diamètres de la courbe passent par ce point , et cela résulte simplement des définitions du centre cl des diamètres.
L’équation
donne pour le coefficient angulaire des diamètres, l’ex^ pression
En effectuant la division indiquée, et observant que
Bs = 4 AC , on trouve la quantité constante — — •
278. Désignons par d' le coefficient angulaire des diamètres d’une ellipse, ou d’une hyperbole; il viendra
BJ + 2C 2 AJ A- B’
(i) 2 A JJ' + B (J -t- J') — 2C = o.
Cette dernière équation étant symétrique par rapport à d et d', on peut considérer d' comme représentant la direction des cordes, alors d indiquera celle du diamètre; ou inversement. Il s’ensuit que d et d' sont les coeffiqicnts d’inclinaison de deux diamètres tels, que chacun d’eux divise en parties égales les cordes parallèles à l’autre. Par conséquent, l’équation (i) exprime la relation générale qui existe entre deux diamètres conjugués d’une ellipse ou d’une hyperbole.
Lorsque B = o, l’équation (i) donne
c’est-à-dire que le produit des coefficients angulaires de deux diamètres conjugués est constant. Si A et C sont nuis, il vient
c'est le cas où les axes des coordonnées sont parallèles aux asymptotes de l’hyperbole.
279. Pour déterminer les axes d’une ellipse ou d’une hyperbole, rapportée à des coordonnées rectangulaires, on
remplacera dans l’équation (i) (n°278), ù' par — ÿ, ce qui donne
Les racines de cette dernière équation sont les tangentes des angles que les axes de la courbe font avec l’axe des .t; on voit que leur produit est égal à — i ; d’où il faut conclure que les deux axes de la courbe sont rectangulaires. Quant à la parabole, le coefficient angulaire de son axe
est — — ; donc, celui des cordes correspondantes a pour
valeur ^ » et , par conséquent , l'équation de l’axe de cette courbe est
/j+/^ x Y = o, ou R/rx -+- 2 A f3. — o ,
lorsque les coordonnées forment un angle droit.
280. jNous avons remarqué (n° 276) qu’en désignant par ni le degré d’une courbe algébrique, l’équation générale de scs diamètres est du degré — — — — Lorsque m surpasse 4 , on a
l’équation des diamètres est alors d’un degré supérieur à celui de la courbe •, et si m == 3 , il en résulte
m [ni —i) g i .2
D’après cela , ou conçoit que lorsqu’il s’agit d’une courbe algébrique d’un ordre plus élevé que le second, la détermination de ses lignes diamétrales ne peut, en général, servir à simplifier sa construction , ni à faciliter la recherche de ses propriétés. Toutefois, dans des cas particuliers , il se peut qu’eu disposant de la direction des cordes, l’équation du diamètre qui leur correspond s’abaisse au premier degré. Pour en donner un exemple , considérons la courbe dont l’équation est
y* — 3 xy -t- x3 = o.
Pour cette courbe, l’équation (a) du u° 27G devient . | {f‘ — 3 xy -t- æ5) (S ' -f- i)
Si l’on pose d = — i, on aura
et, par suite,
OU
il en résulte
y = x, et y = — x — i .
La droite y = X est effectivement le diamètre correspondant aüx cordes placées sous la direction d = — i. (juant à la droite y = — x — i, parallèle à ces cordes, elle est asymptote à la courbe considérée.
281. Lorsqu’une courbe a un diamètre rectiligne, en dirigeant suivant ce diamètre l’un des deux axes du coordonnées, par exemple celui des x, et prenant pour axe des y une parallèle aux cordes correspondantes au diamètre, l’équation de la courbe devra être telle, que si on y remplace y par — y , elle admette les mêmes solutions. En eflet, il est clair que si cette équation est vérifiée par les valeurs « , o , de x, y , clic le sera de même , lorsqu’on sub-
CHAP1T11F. tklX -UiilTlfcME.
stitucra a , — 6 à x, y. Réciproquement , si l’équation d’une courbe ne change pas, quand la variable y est remplacée par — y, l’axe de6 x sera un diamètre rectiligne correspondant aux cordes parallèles à l'axe desjy.
Par conséquent , si la courbe est algébrique , on obtiendra ses diamètres rectilignes en déterminant les systèmes d’axes de coordonnées pour lesquels l’équation de cette courbe ne renferme que des puissances paires de l’ordonnée.
Désignons par f{x,y) —o l’équation primitive de la courbe considérée, que nous supposons rapportée à des axes rectangulaires. Les formules cju’on devra employer sont
x = a x' côs a -f- y' cos a', *
y = b 4- x' sin a + y' sin a'.
Mais, dans la question qui nous occupe, on peut supposer que la nouvelle origine soit le point où se coupent les axes des x' et des x, ce qui donne
Ou remplacera donc x et y par les expressions
. a -h x cos » + / cos a' et x sin a -J- y sin a',
dans f (x, y) , et ou égalera à zéro les coefficients des termes contenant y à des puissances impaires 5 ce qui donnera autant d’équations entre les trois inconnues a. a. Si ce système admet une solution, elle déterminera un diamètre rectiligne et la direction des cordes qui lui correspondent. Appliquons cette méthode à l’équation
y* — 3 xy ■+- x3 = o ,
que nous avons déjà considérée.
En remplaçant y et x par
x sin « -4 -y sin a' et a x cos a 4 -y cos a', les termes qui renfermeront y à des puissances impaires se-
r roui
sin5 a'
y1 -+- 3 sin3 a . sin x
x' y -f- 6 a . cos a . cos a'
.r y + 3 a 3cos a'
