Lorsqu une courbe du second ordre est coupée par

des droites parallèles à une direction déterminée,, le lieu géométrique du centre des moyennes distances des points où chaque sécante rencontre la courbe est une ligne droite, car ce lieu est évidemment un diamètre. La même proposition existe pour une courbe algébrique d’un degré quelconque; c'est-à-dire que :

Si l’on coupe une courbe algébrique d’un degré quelconque, m, par une suite de sécantes parallèles à une direction déterminée , le lieu géométrique du centre des moyennes distances des points où chaque sécante rencontre la courbe est généralement une ligne droite.

En ellet, soient J (.r, y) = o, l’équation de la courbe; et y = cx-\-d., celle de l’une des sécantes considérées; les racines de l’équation J'(x , <\r+(/) = o, seront les abscisses des points d’intersection de la courbe et de la droite. Si m représente le degré de la courbe , l’équation

f(x, ex d) — o

deviendra , en adoptant la notation indiquée n° 266 ,

Donc, en nommant x, y, les coordonnées du centre des moyennes distances des points d’intersection de la sécante et de la courbe, on aura

d’où

.et y = ex -f- <7;

( 1 ic ) ( r — ftx)+4f,U,c) 4 "'•/»(>, e)

dette dernière équatioti étant du premier degré par rapport aux coordonnées x. y , représente une ligne droite.

tlU GÈMUK, DES DIAMÈTRES ET DES AXES. 4°y

. §111.— Des axes.

283. On appelle axe d’une courbe toute droite qui divise la courbe en deux parties parfaitement égales et symétriques. De cette définition il résulte qu’un axe est un diamètre rectiligne perpendiculaire aux cordes qui lui cor-1 respondent. Par conséquent, la méthode exposée (n" 281) pour déterminer les diamètres rectilignes d’une courbe, s’applique à la détermination des axes , en ayant, toutefois, égard à ce que l'angle des cordes et du diamètre doit être droit, lorsque le diamètre devient un axe.

Ainsi, en supposant que

soit l’équation de la courbe, rapportée à des coordonnées rectangulaires, on remplacera X et y par les formules

a- f-x cosa — y.sina et x. sin a j".cosa dans l’équation

puis, on égalera à zéro les coefficients des termes qui contiendront y à des puissances impaires. Les valeurs réelles de a et de a qui vérifient les équations ainsi obtenues, déterminent par cela même un axe de la courbe. Il y aura donc autant d’axes que de systèmes de valeurs réelles de « et se satisfaisant aux équations dont il s’agit.

284. Lorsque l’équation d’une courbe f(x , y) — o est symétrique par rapport aux coordonnées .r, y, la bissectrice de l’angle des axes de coordonnées est nécessairement un axe de la courbe, quel que soit, d’ailleurs, l’angle des coordonnées.

Car, si les nombres a, c , sont les valeurs de x , • y, pour un point de la courbe J (jr, y) = o, il y aura un autre