CHAPITRE IlIX-Ht ITlIiMF

point appartenant île même à la courbe, cl dont les coordonnées seront

puisque l’équation

est supposée symétrique par rapport à x et y. 11 est clair que ces deux points sont -sur une perpendiculaire à la bissectrice de l’angle des axes de coordonnées, et à la même distance de celle droite. On voit donc qu’à chaque point de la courbe, situé d’un côté de la bissectrice, correspond un second point qui se trouve de l’autre côté de cette droite, et symétrique du premier; par conséquent, la bissectrice est un axe de la courbe.

28o’. Lorsqu une courbe n deux axes AA', BB' (lig. i ) qui se coupent sous un angle AOB, diffèrent d’un angle droit, elle a nécessairement un troisième axe CG' passant par le point, d’intersection des deux premiers, et qui forme avec l’un d'eux, BiV, un angle égal à celui des deux premiers axes.

En effet, la droite BB', divisant la courbe en deux parties parfaitement égales et symétriques, s’il existe d’un côté de cette droite un axe OA de la courbe, il faudra qu’il . V ait de l’autre côté de la droite BIV un axe OC, symétrique dç OA par rapport à BIV.

En menant par le point O la droite DOD' de manière que l’angle DOC égale COB , on pourra déterminer un quatrième axe, et ainsi de suite.

286. Quand une courbe a deux axes parallèles , elle a nécessairement une infinité d’autres axes parallèles aux deux premiers, et. équidistants entre eux.

Car, supposons que les deux parallèles AB, A' B ’ (Jig. 1 48) , soient des axes d’une courbe. La droite A' IV divisant la courbe en deux parties égales et symétriques, il ne peut

exister d'un côte de cette droite un axe AB, sans que de l'autre côté il y ait aussi un axe A"B", symétrique de AB par rapport à A' B'. La même observation s'appliquant à A" B", on trouvera un quatrième axe A'" B"',' symétrique de A'B' par rapport à A^B", et ainsi de suite. Par conséquent, la courbe; aura une infinité d’axes parallèles et équidistants.

Si d’un point quelconque M de la courbe on mène une perpendiculaire commune à tous les axes parallèles, elle rencontrera la courbe en une infinité de points symétriquement situés deux à deux par rapport à chacun des axes; d’où il faut conclure quinze courba /faut l'équation est algébrique ne peut avoir deux axes parallèles , car on sait qu’une ligne courbe algébrique ne peut être coupée par une droite en un nombre de points plus grand que le degré de son équatiom

Les courbes représentées par des équations transcendantes peuvent avoir une infinité d'axes parallèles entre, eux ; telle est, par exemple, la sinusoïde y = sin x, qui admet pour axes toutes les droites que l’équation j 77

représente, lorsqu’on remplace n par un nombre entier quelconque, positif ou négatif.

On reconnaîtra facilement que toutes ces droites ont la propriété dont il s’agit, en prenant l’une d’elles pour axe des y, car l’équation de la courbe devenant alors

y = sm I — - Jîr-f-x,

reste la même lorsqu’on change le signe de 1 abscisse.

eu Vl'lTRt DIX-NEUVIÈME.

FORME DES COURBES

§ I. — Concavité et convexité.

287. On dit qu’une courbii CAB (fig. 1 4y ) osl, eu nu de scs points A, concave par rapport à une droite OX , lorsqu'on prenant sur la courbe, à partir de ce point, et de chaque côté , des arcs AB, AC, qui peuvent être aussi petits qu’on voudra, l’arc total BAC est rompais dans l’intérieur de l’angle aigu ATX, que la tangente TA, à la courbe au point A , forme avec la droite donnée OX.

Une courbe est, au contraire, convexe en un de ses points A (fig. i5o), par rapport à une droite OX, lorsque 1 arc CAB limité à des points C, B, aussi rapprochés qu’on voudra du point A , de chaque côté de ce point , est entièrement compris dans l’intérieur de l’angle obtus ATX' formé par la droite OX et la tangente à la courbe au point considéré. ■

288. Dans la recherche des conditions analytiques correspondantes à ces deux cas, nous prendrons pour axe des .r la droite donnée , pour axe des y une perpendiculaire à cette droite, et nous supposerons, en premier lieu, que l’ordonnée du point A considéré sur la courbe, est positive.

Si la courbe est, en un de ses points A, concave vers 1 axe des x (Jig. i4y), les tangentes menées aux points B, C, voisins de A, formeront avec la partie positive OX de l’axe des x , des angles BT' X , CT" X qui devront être : le premier, moindre que ATX, et le second, plus grand; cela résulte de la définition même de la concavité. Par con-

FORME DES GOt RBES.

séqueul, si l'abscisse OA' augmente d une quanti té A=A'B', suffisamment petite, la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente à la courbe forme avec l’axe des x , ira en diminuant. Si , au contraire, l’abscisse diminue, la tangente de l’angle augmentera. Or, les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires, la tangente de l’angle ATX est précisément la première dérivée de l’ordonnée considérée comme fonction de l’abscisse : d’où il suit que la pre* mière dérivée de l'ordonnée décroît quand l’abscisse augmente; donc sa dérivée seconde doit être négative.

Quand l’ordonnée du point A est négative, l'arc CAB est situé au-dessous de l’axe des x: en faisant croitre l’abscisse, l’angle que la tangente à la courbe forme avec l’axe des x, au-dessous de cet axe, diminue; par suite, l’adjacent de cet angle, dont l’ouverture est dirigée au-dessus du même axe augmente : donc, la dérivée seconde de l'ordonnée est positive.

On reconnaîtra, de même, que si la courbe proposée CAB [Jig. i5o) tourne sa convexité vers l’axe des x, la tangente trigonométrique de l'angle que la tangente .à cette courbe fait avec l’axe des x, du côté des y positifs , est croissante quand l abscisse augmente, et que si l’arc considéré est situé au-dessous de l’axe des abscisses, le contraire a lieu.

De là, on peut conclure qu'en général, lorsque les axes de coordonnées sont rectangulaires, une courbe est, en un de ses points, concave ou convexe pur rapport à l’axe des abscisses suivant que l’ordonnée de ce point et sa dérivée seconde ont des signes contraires ou le même signe ( *) .

( *) t a formule de Taylor conduit facilement à cette conclusion. En effet, quand la courbe tourne sa concavité en un point A { fy j. r^g) vers l’aso des ar, les ordonnées des points voisins B, C, sont moindres, en valeur absolue, querelles des points F, G, qui leur correspondent sur la tangente AT, lorsque l‘al>scis«e x1 de A augmente ou diminue d'une quantité// siiflisam-

4 I 4 CHAPITRfe DIX-KEUVtÈME.

Il est essentiel de faire observer que ce principe ne serait pas toujours vrai si les axes de coordonnées faisaient entre eux un angle quelconque différent d’un angle droit. Par exemple, dans la fig. i5i, la courbe CAB est au point A concave par rapport à l’axe des x , et l’on voit que l’angle de la tangente AT avec cet axe, augmente lorsque l’abscisse OA' du point de tangence croit de la quantité A'C'. Alors l’ordonnée AA' et sa dérivée seconde ont le même signe, car elles sont , l’une et l’autre, positives.

Considérons encore l’hyperbole DSD' [fig. 102), rapportée à ses asymptotes OX, OY ; et supposons, pour fixer les idées, que l’angle XOY soit de 4^ degrés. En prenant pour unité les coordonnées égales du sommet S, l’équation de la courbe sera

et la dérivée seconde de l’ordonnée d’un point quelconque sera exprimée par — ; il est clair que celte dérivée aura toujours le même signe que l’ordonnée dont la valeur est - ,

elle sera, par conséquent, positive pouf tous les points de la branche 1)SD'. Or, si l’on mène à la courbe la tangente GK, perpendiculaire à l’axe des .r, le point de contact G

mont petite. Oiy sil’on nomme / l’ordonnée de A; y, Y celles des points B, F, on G, G ;/' (*'),/" (*'), etc., les dérivées do y' considérée comme fonction do r', on a

d’où

La quantité h étant très-petite, le signe de Y — y est difl’ércnt «le celui de /*(*')» d’ailleurs Y — y et >■ ont le même signe ou des signes contraires, suivant que la courbe est concave ou convexe vers l’axe des r ; on en con dut le principe énoncé.

FORME DES COIUBES.

limitera «l’un coté un arc GD qui s'étend, de l’autre coté, jusqu'à l'infini, dans le sens de l'asymptote OY, en tournant continuellement sa concavité vers l'axe des x, OX. L’ordonnée GG' du point G est égale à V2; donc, la courbe est concave vers l’axe des x, en tous les points dont l’ordonnée positive est plus grande que V2, et la dérivée seconde de chacune de ces ordonnées est constamment positive.

, § IL— Del ordonner, maximum ou minimum.

289. L’ordonnée d’un point A, cl’une courbe «juelconque, est maximum lorsqu’elle c-:t plps grande que celles de deux points 15, G, pris sur la même courbe de diilérents côtés de A, et à une distance de ce dernier point aussi petite qu’on voudra.

L’ordonnée de A est minimum quand elle est moindre <jue celles des points voisins 15, C.

En considérant l’ordonnée y comme une fonction f(x) de l’abscisse x, qui est alors la variable indépendante, on sait que, pour des valeurs croissantes de x, l’ordonnée croit ou décroit suivant que sa première dérivée J' (x) est positive ou négative. D’ailleurs , cette dérivée est le coefficient angulaire «le la tangente à la courbe; donc la valeur de l’ordonnée augmente ou diminue suivant que le coefficient angulaire de la tangente à la courbe est positif ou négatif . De là, on conclut immédiatement cet autre, principe :

Lorsque, pour des valeurs croissantes de l’abscisse, la dérivée de i ordonnée , ou le coefficient angulaire de latangente change île signe, en passant, du positif au négatif, l’ ordonnée passe par une valeur maximum ; si la dérivée change de signe, en devenant positive, l’ordonnée passe par une valeur minimum .

Dans le cas où la première «lérivtv /' (x) de l’ordonnée * ■ .