CHAPITRE IMX-NEtJVlKME

ne peut devenir infinie, elle ne change de signe qu’en passant par zéro; donc, pour déterminer le maximum ou le minimum de l’ordonnée-, il faudra résoudre l’équation

et examiner si pour des valeurs (c -f- h) , (c — /t), la première un peu plus grande, l’autre un peu plus petite que la racine obtenue c, la dérivée a changé de signe. Le tracé de la courbe, aux environs du point dont l’abscisse c est racine de l’équation

pourra servira reconnaître si l’ordonnée correspondante à •cette abscisse est un maximum ou un minimum. Il est, d’ailleurs, nécessaire, pour que la dérivée J' (x) change de signe en passant par zéro , que , parmi les dérivées suivantes f" (x) , J'" (x) , etc., la première qui ne s’annule pas en même temps que^/ ' ( x ) , soit une dérivée d’ordre pair. C’est ce qui résulte de la formule de Taylor.

Lorsque la première dérivée de J' ( x ) peut prendre une valeur infinie réelle, pour des valeurs finies de l’abscisse, il faut résoudre successivement chacune des équations

/'(•*) = o, /'(.r) = co,

afin d’obtenir tous les points qui peuvent répondre à la question proposée; et examiner, comme nous venons de •L’expliquer, si la dérivée a changé de signe en passant par zéro ou par l’infini.

Quand l’abscisse d'un point dont l’ordonnée est maximum ou minimum, annule la première dérivée, la tangente en ce point est parallèle à l’axe des x; elle serait parallèle à l’axe des 7, si l’abscisse du'point dont il s’agit, faisait prendre une valeur infinie à la dérivée de l'ordonnée.

FORME DES COURBES

§ 111. — Des points singuliers .

290. Les points singuliers d’une courbe sont ceux où la courbe offre quelque particularité remarquable et indépendante du système de coordonnées auquel on la rapporte. On distingue plusieurs espèces de points singuliers; nous allons en donner la définition, et indiquer à quels caractères analytiques on peut les reconnaître.

291. Points d’inflexion. — On nomme ainsi les points où la concavité d’une courbe se change en convexité. Lorsque les axes des coordonnées sont rectangulaires , on sait (pie la courbe est concave ou convexe par rapport à l’axe des x, suivant que l’ordonnée et sa dérivée seconde ont des signes différents ou le même signe; il en résulte évidemment que si l’on passe par un point d’inflexion , la dérivée seconde de l’ordonnée doit changer de signe.

Lorsque la seconde dérivée f"[x) de l’ordonnée considérée comme fonction de l’abscisse, ne peut devenir infinie, elle ne change de signe qu’en passant par zéro; pour déterminer alors les points d’inflexion, il faudra résoudre l'équation

et il restera encore à examiner si la dérivée seconde a changé de signe en s’annulant. Pour que cette condition soit remplie, il faudra que parmi les dérivées suivantes f' [x) , ^ (x) , etc., la première qui ne se réduit pas à zéro, en meme temps que J" (./•) , soit une dérivée {l’ordre impair.

Si la dérivée seconde peut devenir infinie, pour des valeurs finies de x, on devra résoudre successivement chacune des équations