CHAPITRE UIXHNEC'YIEMK
signe lorsqu'on donne à x deux valeurs, l’une un peu plus grande, l’autre un peu plus petite que la racine obtenue.
292. Points multiples. — On donne ce nom aux points où passent plusieurs branches d’uue même courbe; la recherche des points multiples se fonde sur ce que, en ces points, il est possible de mener plus d’une tangente à la courbe considérée. O11 les détermine par une règle dont l’application n’olFre, en théorie, aucune difficulté quand l’équation de la courbe est algébrique et rationnelle.
En effet, soient x\ y\ les coordonnées d’un point multiple, et a le coefficient angulaire de l’une des tangentes menées par ce point; en désignant par J (x<, y) =0 l’équation de la courbe, on aura
et ...
(a) /(*', Jr') = o.
Les dérivées f [x', y'),J'x (x', y1) de la fonction algébrique et entière J (x, y) n’admettant l’une et l’autre qu’une seule valeur, il faudra , pour que a puisse avoir plusieurs valeurs différentes, qu’on ait
(3) fy (P, r') = », /r (■*', y') = o.
Par conséquent, les coordonnées d’un point multiple de la courbe J(x, y) = o devront vérifier à la fois les trois équations
A*, y) — o, ./ÿ{x,y) = o, fl'(x,y)z=o.
Si ce dernier système admet une solution réelle x\ y1, pour obtenir les valeurs correspondantes de «, on aura recours à l’équation
(4) «’ a j')+/ls(*'o')=o(p. 36^, ti.y,
FORME DES COI RBES
et lorsque les racines de cette équation seront réelles , on en conclura que deux branches de la courbe passent par le point [x ',y').
Les deux branches seraient tangentes si les deux racines de l’équation (4) étaient égales entre elles.
Si trois branches de la courbe passaient au point (x' ,y'), les coefficients y'),J”xy (x', y') , f’x* (*', /'), de l’équation (4), seraient nuis, et, dans ce cas, les valeurs de a devraient être données par l’équation
= O (n° 285, page 365) ;
et ainsi de suite.
293. Points de rebroussement.. — Un point tel que A {fig. 1 53 ) , où s’arrêtent deux branches de courbes AI), AF, en ayant en ce point une tangente commune AG , est un point de rebroussement ; on dit que le rebroussement est de première ou de seconde espèce, suivant que les deux branches de la courbe sont situées de différents côtés de la tangente ou du même côté.
En désignant par x', y \ les coordonnées du point de rebroussement A, le coefficient angulaire a de la tangente AG sera déterminé par l’équation
“’/?• ( / ) + 2 e-fly [P, y ' ) -h/;* ( x’, y ) = o ,
qui aura ses deux racines égales entre elles.
Il faudra , en outre , qu’en faisant croître l’abscisse x', ou OP', deux des valeurs de y qui étaient des quantités réelles PJV, PM, lorsque x avait une valeur OP, moindre que x', deviennent, l’une et l’autre, imaginaires.
Lorsque le coefficient « est infini , la tangente AG est parallèle à l’axe desj^, et , dans ce cas , il faut, pour que les deux branches de la courbe s’arrêtent au point A, qu’en
/fMf CHAPITRE OIX-JVECVTLAIE.
faisant varier y au delà d cy', deux des valeurs réelles de x deviennent imaginaires.
Afin de savoir si le point de rebroussement A est de première ou de seconde espèce, on observera que, dans le premier cas , en donnant à l’abscisse x une valeur
OP = OP' — PP' — x — h ,
très-peu différente de .r', les points N, M , correspondants sur les deux branches de la courbe, doivent être situés de différents côtés de la tangente AG: de sorte que les dilïérences obtenues en retranchant de ces ordonnées 3NP, MP, l’ordonnée IP de la tangente, auront des signes contraires. Or, on sait que pour une valeur suffisamment petite de h, ce s différences ont le même signe que la dérivée seconde de l’ordonnée de A ( page 4 1 ■! ) j donc, les dérivées secondes de l'ordonnée du point A considéré successivement comme appartenant à chacune des deux branches, devront avoir des signes contraires.
On reconnaîtra de même que si A est un point de rebroussement de seconde espèce , la dérivée seconde de l’ordonnée de ce point a des valeurs de même signe pour les deux branches de la courbe.
291. Points conjugués. — On nomme point conjugué ou isolé un point dont les coordonnées vérifient l’équation d une courbe, sans qu’aucune branche de la courbe passe par ce point.
Si x1, y', représentent les coordonnées d’un point isolé; J (x,y) — o l’équation de la courbe; h une quantité trèspetite : on aura d’abord
et les valeurs de y correspondantes à x ~ x' dz h , seront imaginaires, puisqu’il n’existe aucun point de la courbe voisin du point conjugué.
L’accroissement A de 1 ordonnée y\ correspondant à A,
rotutr. nus roi unes.
étant imaginaire, il en sera de même du rapport j, i l par
suite de la limite de ce rapport, qui est la première dérivée de l’ordonnée considérée comme fonction de l’abscisse.
Il en résulte que le coeflicient angulaire de la tangente à la courbe au point isolé (x\y' ) doit être imaginaire. Par conséquent, les coordonnées x', y', doivent annuler les dérivées premières j"x (x^y)^f' (x, y) de l’équation proposée, et rendre imaginaires les racines de l’équation du second degré
*’ J >(■*', y') + > (■*'»/) + fx'[x',/)
à laquelle on a recours pour trouver le coefficient angulaire de là tangente, lorsque les coordonnées du point de eon- - tact annulent à la fois les deux dérivées relatives à y et x.
29o. Point d'arrêt — Cette dénomination désigne un point où une seule branche de courbe vient brusquement s’arrêter.
Si x\ y\ représentent les coordonnées d’un point d’arrêt d’une courbera: , 7) = o, et h une quantité aussi petite qu’on voudra, il faudra qu’en remplaçant successivement x par x' — h, et x1 -+- h, dans f[x , y) = o, une des valeurs réelles de y devienne imaginaire; ou inversement, qu’une valeur imaginaire de y devienne réelle. Il sera, de plus, nécessaire que y 11’aii qu’une seule valeur réelle peu diflêrente d cy', et correspondante à x ' — A, ou x'-+- h, puisqu’une seule branche de courbe doit s’arrêter au point dont il s'agit.
296. Points anguleux ou saillants. — C'est le nom qu’on donne aux points où s’arrêtent deux branches de courbe, sans avoir en ces points une tangente commune.
Par conséquent, un point anguleux ne se distingue d’un point de rebroussement (n°293), qu’en ce que les deux.
branches de combe qu’il termine, ont, à cette extrémité commune, des tangentes différentes; d’où il suit que les coefficients angulaires de ces tangentes doivent être donnés par uue équation du second degré dont les racines sont inégales.
Nous allons maintenant montrer quelques applications de ce qui précède.
§ IV. — De la construction des courbes.
297. Le moyen général de construire une courbe dont l’équation est connue, consiste, comme 011 sait, à donner à Tune des deux coordonnées , à .r par exemple , des valeurs arbitraires suffisamment rapprochées les unes des autres, et à déterminer par approximation , ou exactement, les va- . leurs correspondantes de l’autre coordonnée y\ on obtient ainsi un certain nombre de points par lesquels on fait passer un trait continu, lorsqu’on a toutefois reconnu que ces points doivent appartenir à une même branche de la courbe.
Ce procédé revient évidemment à couper la courbe par des droites parallèles à l’un des axes de coordonnées ; il y a , parfois , avantage à prendre pour sécantes des droites qui passent par l’origine, lorsque l’origine est un point de la courbe à construire. Enfin, il se peut que l’équation polaire de la courbe soit plus simple que celle qui s’exprime en coordonnées rectilignes.
Dans tous les cas, pour avoir une idée précise de la forme que peut avoir la ligne dont on connaît l’équation, il convient de construire les tangentes aux dillérents points obtenus, et d’examiner de quelle manière varie le coefficient angulaire de la tangente lorsqu’on fait croître l’abscisse. C’est par l’examen des valeurs que peut prendre cc coefficient angulaire que l’on découvre les points singuliers de la courbe.
FORME DES COURBES. 42
Prenons, d’abord, pour exemples quelques courbes algébriques.
298. Folium de Descautes. — La courbe qu ou nomme ainsi , est représentée par l’équation
()) y3 — Zary -4-ar*= o,
dans laquelle le paramètre a est un nombre quelconque réel que nous supposerons positif.
On pourrait, en donnant à x une valeur quelconque, calculer les valeurs correspondantes de y, par la résolution d’une équation du troisième degré, mais il est plus simple de déterminer les points de la courbe par ses intersections avec les droites y = mx, qui passent par l’origine.
Des équations (i) et y — /nx, on tire immédiatement
Zam
3 am-
Lu donnant à m dillérenles valeurs, on aura les coordonnées d’autant de points de la courbe qu’on voudra.
Le coefficient angulaire est ^ — —• En désignant par a
ce coefficient, et substituant à x, y, les valeurs que donnent les équations (2) , (3) , il vient
Lorsque m = o, il en résulte à la Ibis
X — O , r — O , at O.
Donc, l’axe des x est tangent à la courbe à l’origine des coordonnées.
Si l’on fait croître m depuis o jusqu’à y/ la valeur de a est constamment positive et croissante. Carie facteur
revient a i
-• A la limite m
> ou a
ou
De là concluons qu’en faisant augmenter m depuis zéro jusqu’à \/ -, on obtient un arc de courbe OA ( fig . i54) qui
part de l’origine en touchant l’axe des x à ce point , et qui tourne constamment sa convexité vers l’axe des a.', jusqu’au point A dont les coordonnées sont
x = fly'4> y = aÜ2.
A ce dernier point la tangente est parallèle à l’axe des y, la valeur de l’abscisse est un maximum.
SiT 'on continue à donner à m des valeurs croissantes depuis y/ - jusqu à v'2, le coefficient angulaire de la tangente, a, deviendra évidemment négatif, et, de plus, sa valeur
absolue — ira en diminuant. En effet, le dénomina-
teur 2 /«* — 1 augmente avec ni, et le numérateur 2 m — mi
diminue, puisque la dérivée 2 — de ce numérateur
est négative pour des valeurs de m plus grandes que
On voit de même que l’abscisse x va en diminuant, et que l’ordonnée y est au contraire croissante, car les dérivées
FORME DES C0l'RBES.
, . 3 atn 3 am‘
des fonctions — — — » , sont //!■* + i mi -H l
3a(i— aw3) Sain (a — .
la première est négative, et 1 autre positive, quand m vai ic
depuis yA jusqu’à \'i. Lorsque m = \ 2, on a
Par conséquent, les valeurs de in comprises entre ÿ/ —
et \J2 donnent l’arc AC concave vers l’axe des x. Au point C, dont les coordonnées sont
la tangente est parallèle à 1 axe des x , la valeur de 1 oidonnéc est un maximum.
La variable rn augmentant de V 2 à ao , le coefficient an-
gulaire a. — — f —
redevient positif et croit de o
à oo . Car le facteur ^ augmente jusqu’à l'infini, et 1 autre
facteur — -j qu’on peut mettre sous la forme
un3 — i
est convergent vers l’unité en restant positif. Les valeurs
correspondantes de x et de y vont en diminuant, puisque
3a (i — 2 mz) 3o/h(2 — m3) , c les dérivées — ,■ — ■ — r— ■> — -, — y~,\r c^es fonctions [m — t- i )•' [m
3 am3
-deviennent négatives. A la limite in — oc , on a
3t=rce, x ™ o , y — o
CH A PI T II F. Il I X-K E l) VI EM F. .
On trouve donc l’arc CO concave par rapport à l’axe des ,r, et qui louche l’axe desj- à l’origine.
Lorsque ni est négatif et moindre que l’unité, en valeur absolue, l'abscisse .»■ est négative , et l’ordonnée y positive; les valeurs de m déterminent alors une branche indéfinie OD, située dans l’angle YOX', et qui tourne sa convexité vers la droite OX', comme il est facile de le reconnaître.
Si la variable m restant, négative est, en valeur absolue, plus grande que l’unité, l’abscisse sera positive et l’ordonnée négative; dans ce cas, 011 obtient la branche indéfinie OD', située dans l’angle Y'OX, et concave par rapport à l’axe des abscisses.
Ces deux branches ont pour asymptote la droite GG' dont l’équation est
11 faut, de plus, observer que 1 équation y* — 3 nxy 4- jt1 = o
étant symétrique par rapport h y et x, la bissectrice OB de l’angle YOX des coordonnées est un axe de la courbe. La tangente menée au point 15, où la courbe est rencontrée par l’axe OB, forme avec OB un angle droit ; ce point est , par conséquent, lin sommet. Ses coordonnées ont pour valeur 3 a
commune —
On voit d'ailleurs que l’origine est un point multiple.
En prenant pour axe des x l'axe même de la courbe, et ■ pour axe des y une perpendiculaire à cette droite, l’équation de la courbe ne devra plus contenir de puissances impaires de y. Ou trouve elfectivemcnt qu’elle devient, en pouservaut la même origine,
3 (x \ 2 4- «)/’ 4- X 2 — 3 rt.ç ■ = O.
FORME DES COURBES
L’équation de l'asymptote est alors
et l’abscisse du sommet
299. Cissoïdc de Dioclès. — Pour second exemple, je prends l’équation
(la — .r) y* — x3 = o ,
qui représente la courbe nommée cissoïde.
L’équation résolue donne
et, sous cette forme, elle montre clairement que la courbe se compose de deux brandies égales, symétriques par rapport à l’axe des x , et qui ont pour asymptote la droite x = 2 a. Il n’est pas moins évident que ces deux branches sont entièrement comprises entre l’asymptote T AT’ ( Jig . i55), dont l’équation est x — 2 u, et l’axe desj'.
Toute droite y = mx, menée par l’origine O, coupe la courbe en un second point P, dont les coordonnées sont
Ml3
x — ia . t r — 7.a .
En remplaçant x, y, par ces valeurs, le coefficient angu-
laire de la tangente qui a pour expression ^ — — - se
réduit à m* -t- 3 in . Si l’on fait croître in positivement depuis o jusqu’à l’infini, le coeffident angulaire m’ + 3m, d’abord nul, est ensuite constamment positif et croissant; il en est de même dey et de x. On obtient ainsi la branche OPCjr, tangente à l’axe des x à l’origine, et qui tourne constamment sa convexité vers cet axe. La même conclusion
4^8 CHAI'ITBK OIX-RlievikMIÎ.
convient à l’autre branche OG' qui est, par rapport à l’axe
des abscisses, symétrique de la première; et, comme la
courbe n’a aucun point situé du côté des x négatifs, on voit
que l’origine est un point de rebroussement de première
espèce.
Si du point A, où l’asymptote coupe l’axe OX, on abaisse une perpendiculaire AD sur la droite ODE (yz=mx), cette perpendiculaire aura pour équation
et coupera la droite OE en un point D dont l’abscisse Ob’ a pour valeur
la .
On sait d’ailleurs que l’abscisse OM du point P est
égale à
Il s'ensuit d'où
ia ,
OM -f- OF = 2fl = OA :
OM = AF, et OP = DK.
De plus, le point D appartient à une circonférence décrite sur OA comme diamètre; on déterminera donc les différents points de la courbe en menant par l’origine des sécantes telles que ODE, et en prenant sur chacune d’elles à partir de l’origine, une distance OP égale à la partie delà sécante comprise entre l’asymptote TAT', et la circonférence qui a pour diamètre l’axe OA de la courbe.
300. Conchoïda. — Soit à construire l’équation (y* ■*’) {-c — = b*x\
dans laquelle on suppose ô<«. En la résolvant par rap
FORME l>KS COURBES. i\ QCï
poi l à j-, il vient
y = zt y h* — [x — a y.
I.es valeurs de x plus grandes que a -h b , ou moindres <jue (a — h ), rendent j imaginaire, en exceptant toutefois x — o qui donne y = o. D'après cela, ou voit que l'origine est un point isolé, la courbe étant entièrement comprise entre deux parallèles AB, A' IV (fig. 1 56 ) , à l’axe des y, et à des distances a — b , a -h b, de cet axe. La droite CD, qui a pour équation x = a , est asymptote à la courbe.
En faisant varier x depuis a — b jusqu’à a -y b, on aurait tous les points cherchés ; mais la considération des coordonnées polaires conduit à une construction très-simple. Car, si l’on prend pour axe polaire la droite OX, en conservant la même origine, on aura
jr* -+- x3 = p;, x ~ p cos o> ; et, par suite, l'équation proposée deviendra p1 . ( p oos m — n )3 = (r p- cos3 o> ; d’où l'on lire successivement :
( p cos w — a)' — b- cos3 w , p cos « — a — ± b cos m ,
cos M
Or, l’équation p= représente l’asymptote (il), dont la
distance à l’origine est «5 donc, le lieu dont il s’agit se détermine en menant du point O des sécantes telles que OF, à la droite CD, et en prenant, à partir du point F d’intersection, et de chaque côté, des distances FM, FM', égales à b. La courbe qui résulte de celle construction est cc qu’on nomme une conchoïdtt; elle a la forme indiquée [ fig. 1 56 ) lorsqu’on suppose /;<[«.
