CHAPITRE mX-KEUViÉMii

301. Lemniscate, représentée par = X* (i — x*}. — La courbe est symétrique par rapport aux axes; elle a pour centre l'origine, coupe l’axe des x à l’origine et en deux autres points dont les abscisses sont -+- 1 et — i , et ne peut s’étendre au delà dans le sens des x : c’est ce qui résulte évidemment de l’équation proposée.

La somme des facteurs x!, (i — x!) étant invariable, le

maximum de leur produit, y*, est donc, le maximum de

l’ordonnée est et correspond à x = ± De plus, en faisant croître x de o à y/-, la valeur de y va constamment en augmentant depuis o jusqu’à et, pour les valeurs de x croissantes de t/- à i, l’ordonnée y diminue; de - à zéro. La tangente à la courbe au point dont l’ordonnée

a la valeur maximum est parallèle à l’axe des x; car le coefficient angulaire de cette tangente, ayant pour expression — — ~~~~ ’ se réduit à zéro quand x —

A l’origine, le coefficient angulaire — devient-;

il faut alors, pour avoir ses valeurs, recourir à l’équation du second degré ,

a». /£(*', y) + 1 a..f"Ty(x\ /) +fxi(x',y) = o, (n" 567, R.),

et qui , dans le cas actuel , se réduit à u - ■ — i = o ,

et donne , par conséquent,

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FORME UES COURBES. /\?> l

Ainsi, à l'origine, la courbe est tangente aux lieux bissectrices DOl)', EOE' (/ig. 107) des angles que font entre eux les axes îles coordonnées.

En considérant la seconde dérivée de l’ordonnée, on verra facilement que l'origine, O, est un point d'inflexion de chacune des deux branches AOC', COA' (n°291); et c'est, d’ailleurs, une conséquence de ce que le point dont il s’agit est le centre de la courbe.

De cette analyse, il résulte que la ligne représentée par l'équation

a la forme indiquée par la fig. 107. Le centre de la courbe est, à la fois, un point double et un point d'inflexion.