Considérons encore l'équation algébrique
(r — x-y— ii = o,
ou
(1) y~x*±xl \fx.
La courbe que l’équation (i) représente n’a aucun point situé du côté des abscisses négatives et s’étend à l’infini de l’autre côté; elle a pour diamètre la parabole y = x *, car il est clair que cette dernière ligne divise en parties égales toutes les cordes de la courbe , parallèles à l’axe des y.
En séparant les deux valeurs de y, on a
(2) y = x,~ y-x'yjx,
(3) jr = X' — X' \[x.
Le coefficient angulaire de la tangente en un point de la première branche, y = x* -|- x* \Jx, est
432 CHAPITRE mX-KELVlEME.
pour la seconde branche, y = xi — x* \x, il devient
origine, on a
a! = 2 x — - x ’Jjc.
donc les deux branches de la courbe sont tangentes à l’axe des x. Si l’on observe , de plus , qu’en donnant à x des valeurs positives, comprises entre o et i, les deux valeurs de j sont positives, et qu’elles deviennent imaginaires lorsque x est négatif, on en conclura que l’origine des coordonnées est un point de rebroussement de seconde espèce.
La valeur de a, toujours positive, croît avec l’abscisse et l’ordonnée; il s’ensuit que la première branche OAB (fig. i58), entièrement située au-dessus de l’axe des x, tourne constamment sa convexité vers cet axe.
La seconde branche OA' B', déterminée par l’équation
y = x’ — x yj x ,
s’élève d’abord au-dessus de l’axe des x , en partant de l’origine, et va couper cette droite à une distance de l’origine égale à l’unité. La première dérivée de a', ou la seconde dérivée de l’ordonnée , ayant pour expression
2 — \x , est positive pour des valeurs de x comprises
entre o et i e^e s’annule quand x= (75) ’ et de-
vient négative lorsque x prend des valeurs plus grandes. Par conséquent, la branche OA' B' est convexe par rap-
port à l’axe des abscisses, depuis x — o jusqu’à x= ^ygj • Le point correspondant à cette dernière abscisse est un point d’inflexion. Depuis x — ^-g j jusqu’à x — 1 , l’ordonnée cl sa seconde dérivée ont des signes contraires;
FORME DES COURBES
donc, dans cet intervalle, la branche OA !>'('. est. concave vers l’axe OX. Pour des valeurs de .r plus grandes que l'unité, y est négatif, la courbe est située au-dessous de l’axe des x, et tourne sa convexité vers cet axe. Lorsque
X = i a.' — o, la tangente est parallèle à l’axe des x,
et la valeur de l’ordonnée est un maximum, car a' change de signe en s'annulant.
