I- OU. VIE DES CO U 11 UES
Le rayon polaire est alors négatif et décroît, en valeur absolue, de 00 à o.
En remplaçant, dans l'équation proposée, o> par co'-f- - ,
ce qui revient à prendre pour axe polaire la droite OX' qui
fait avec l’ancien axe OX un angle égal à l’équation reste
absolument la même. Par conséquent, les valeurs de
croissantes de o à -j détermineront deux nouveaux arcs n
égaux à OD, OD', ayant aussi une asymptote commune, et dont la situation relative à OX' sera la même que celle de OD, OD' par rapport à OX.
11 est maintenant facile de reconnaître que la courbe se composera de in couples de branches telles que OD, OD', et qu’elle aura an asymptotes. «
Quatrième exemple, p = m cos nu> (les coefficients m et n représentent deux nombres dont le second est supposé entier-, la valeur de rn est plus grande que l’imité).
La valeur de cos n o> étant comprise entre -j- 1 èt — t, celle de p ne pourra varier que depuis m 1 jusqu'à m — 1 . Si l’on décrit de l’origine O des coordonnées comme centre, et avec des rayons représentés par m -+- 1, m — 1, deux circonférences concentriques ABC, abc {Jïg. 166), elles comprendront entre elles tous les points de la courbe proposée. On aura d’ailleurs tous les points de cette courbe, situés sur la première circonférence ABC, en posant p = m 1 5 d’où
cos n w = 1 , /iu — 2It, u — :
ri
les valeurs de co seront donc
27r 4* l(n — t) rr
Il est clair qu’on obtient ainsi les sommets A, B, C, etc.,
444 CI1APITUE DIX-KEUVIKME.
<l’un polygone régulier de n côtés. De plus, la courbe est, en ces points, tangente à la circonférence ABC; car l’angle que le rayon vecteur forme avec la tangente à la courbe, à l’un quelconque des points dont il s’agit , est droit. En effet, si l’on désigne par V l’angle de la tangente et du rayon polaire mené au point de contact, on a (n° 200) p ni cos n w
tang V —
Or si n zi w = o quand ai =
Pour déterminer les points communs à la courbe et à la circonférence intérieure abc, on posera p — ni — i ; d’où
/ , \ ( 2 X' -t- 1 ) ÎT
COS — l, /i w =r ( 2 /v 1 ) 7f , w =
Les valeurs de ca correspondantes aux points cherchés seront
ÎT OIT
et les points obtenus représenteront évidemment les sommets n, ô, c, etc., d’un polygone régulier inscrit dans le cercle abc. On voit aussi que la courbe est tangente à ce cercle aux sommets a, b, c, etc., du polygone régulier,
,, , (2/ -f- l)îT
puisque tang \ =± oo lorsque cri = - .
Si l’on fait croître o> de o à le rayon vecteur p diminue de m + i à m — t , et on obtient l’arc An. I/angle m augmentant de ^ à — , le rayon p est croissant depuis m — t
jusqu’à tn + i, et ses valeurs déterminent l’arc a B ; et ainsi de suite. La courbe aura donc la forme indiquée
fis- 166 ■
Les n droites OA, OB,..., OG sont des axes. En effet, lorsqu’on change le signe de cri, l’équation p — m -f- cos. /toi
FORME DES COI RUES. 44:’'
reste ia même; donc l’axe OX des coordonnées polaires est un axe de la courbe. Si , de plus, on remplace dans l'équation p = m -f- cos . no, la variable w par m' -+- — il
vient
p — m -4- cos. n
quelle que soit la valeur de k.
Donc les droites OH, OC,..., OG, divisent chacune la courbe en deux parties égales et symétriques.
305. Nous proposerons , comme exercices , les questions suivantes :
Construire les équations :
I. y — (x — a ) \x — b (la courbe a un point conjugué dont l’abscisse est a, si a < b\ et un point multiple dont l’abscisse est a, lorsque b>a).
II. y ’ — q6 . a*y* -f- i oo a* x* — ,r*=o (la courbe que cette équation représente a été nommée courbe du diable. Elle est formée de trois branches séparées. L’origine des coordonnées est à la fois un point d’inflexion et un point multiple).
III. y — ex (l’origine des coordonnées est un point d’arrêt).
IV. x-r=yx. (En prcnafit pour inconnue auxiliaire le rapport^ = t , on déduit de l’équation proposée
xtx — t*x* ; d’où x1 — tx ;
et, par suite.
x=t‘~', et y—t'-'.
C’est la solution donnée par Euler.)
