IX. Lieu géométrique du centre du cercle inscrit dans
tin triangle dont la base cl la hauteur sont données.
Æ, K èfes
COURBES DANS LES QCESTIOKS 1) ALC.F.BBE.
§ I . — Construction des racines d'une équation .
300. Pour déterminer par un tracé graphique les r'acines d’une équation de forme quelconque à une inconnue, J (x) = o, il suffit de construire la ligne y= J (.r) , et de chercher les points où elle coupe l’axe des x; les valeurs des abscisses de ces points devront vérifier l’équation /(x) = o, puisque leurs ordonnées sont milles. Les valeurs numériques de ces abscisses s'obtiendront, d’ailleurs, en comparant à la droite choisie pour unité de longueur, les distances de l’origine aux points d’intersection dont il s’agit.
Comme les constructions graphiques sont entachées d’erreurs dont il n’est pas toujours facile d’apprécier rétendue, on conçoit que le procédé qui v ient d’être indiqué ne donne pas, dans tous les cas, avec certitude les racines à l’approximation désignée \ mais il peut souvent servir à diriger le calcul de la séparation des racines, en montrant vers quelles valeurs les substitutions doivent être faites.
Le tracé des courbes peut encore être utilement employé pour vérifier quelques principes d’algèbre, et quelquefois pour en découvrir.
„ Par exemple, eu traçant une courbe y — J (x) , on reconnaît immédiatement que si J {x) est une fonction continue qui prenne des signes contraires, lorsqu'on y remplace successivement x par deux nombres réels a, 6, l’équation doit avoir, âu moins , une racine comprise entre a. et to.
■ Lorsque /"(.r) est une fonction algébrique entière , telle
que ax"‘ 4- bx'n ~' 4- ex"1-* 4- etc., l’équation représente (fig- 167) une parabole du degré m , et, dans ce cas, à chaque valeur de x correspond une valeur de y , et une seule.' En supposant que l’équation J (x) = o ait deux racines égales à OE, la courbe sera tangente à l’axe des x au point E -, on aura donc, en désignant OEpara,
Ce qui montre que toute racine double, a. , de f(x) — o annule la première dérivée/' (.r) de /(x), ce qu’on savaitdéjà.
On voit de même qu’il existe une valeur OE' de x, comprise entre les racines consécutives OB, OC, qui doit correspondre à un maximum FF' de l’ordonnée, c’est-à-dire à un point F de la courbe, où la tangente sera parallèle à l’axe des x. Par conséquent, deux racines consécutives OB, OC de l’équation J (x) = o, comprennent entre elles, au moins, une racine OF' de la première dérivée J' (x) = o de cette équation. C’est le principe de Folle.
Enfin, supposons que l’arc M.M'M"A tourne sa convexité vers l’axe des x; si l’on mène en différents points de cet arc, les tangentes MP', M'P", etc., les points P', P", etc., où elles couperont l’axe des x, se rapprocheront de plus en plus du point A , de manière que les abscisses OP, OP', OP", etc., auront des valeurs convergentes avec la racine OA. Cela admis, nommons a la première valeur approchée OP de la racine OA, et remarquons que JV1P — f[a) \ le triangle rectangle MP'P donnera
MP MP /(a)
tangMP'P tangMP'X J'{u)
Donc, on aura une valeur plus approchée de la racine cherchée en ajoutant à a l’expression — y, ---• C’est la méthode d'approximation de jN'f.wton.
307. Au reste, on peut déterminer les racines réelles de l’équation f(x)~o, par une infinité de constructions différentes de celle que nous venons d’exposer, et qui consiste à couper l’axe des X par la ligne y = J (x). Car l'cqualion y(x) = o résulte de l’élimination de y entre le système de deux équations <p [x, y) — o, <p (x, y) = o, qui peuvent avoir une infinité de formes dillérentes, puisque l’une d’elles est arbitraire. Or, les abscisses des points communs à ces deux lignes représenteront, évidemment, les racines de f(x) = o ; et pour qu’on soit certain que les deux lignes se coupent en autant de points que l’équation y (.r)=o a de racines réelles, il suffira que y n’entre qu’au premier degré dans l’une des deux équations
308. Il est. toujours possible d’obtenir les racines réelles d’une équation du quatrième ou du troisième degré par l'intersection d'une parabole donnée et d’une circonférence.
Considérons l’équation du quatrième degré ( I ) x1 + px* + qx ■+ r = o ,
et représentons par
(2) x'=ay,
la parabole donnée. Si, dans l’équation (i) on remplace ,r‘ par n’y*, il viendra
(3) a1 y* -H px% -+- qx 4- o.
En multipliant (2) par un coefficient arbitraire X, et ajoutant membre à membre avec (3), on aura
(4) a’y’-h (p -+■ \)x,-b qx -+- r= a\y.
Et , si l’on pose p -y- A = a1, l’équalion (4) sera celle de la circonférence cherchée.
Quant à l’équation du troisième degré xs 4- px -f- q = o, on y introduit une racine nulle, en multipliant par x le premier membre, ce qui donne
x1 -4- px1 -f- fjx — o ,
et ou rentre , ainsi , dans le cas précédent.
Les problèmes qui ont pour objets : de trouver le côté d’un cube double d’un cube donné: de diviser un angle en trois parties égales; d’insérer deux moyennes géométriques entre deux droites données, se résolvent simplement par l’intersection d’une parabole donnée et d’un cercle, parce qu’ils conduisent à des équations du troisième degré.
§ 11. — Intersection de deux courbes du second degré.
309. Étant données les équations de deux courbes du second degré , trouver l’équation générale des courbes du second degré qui passent parles quatre points d' intersection des deux premières.
Soient
(') — o, <f(xty)=o,
les équations données, et X un coefficient arbitraire; l’équation demandée sera
Car (a.-, y) -4- jy) = o représente évidemment une ligne du second degré qui passe par les points communs auxeourbes/ja-, y) = o, f (x, y) — o, quelle que soit la valeur attribuée au coefficient X; et il n’est pas moins clair qu’en donnant à X une valeur convenablement choisie, on pourra disposer, comme on voudra, d’un cinquième point de la ligne que l’équation X f (x, y) -+- <jp (.r, y) = o représente; donc, cette équation est celle de toutes les lignes du second degré qui passent par les quatre points d'intersection des courbes proposées.
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310. Disposer de l’indéterminée X que renferme cette équation [X f(x, y) o (x, y) = o] , de manière quelle
puisse se décomposer en deux facteurs du premier degré.
Les équations (i) du numéro précédent seront généralement
( i ) ay'- H- bxy -+• ex' + dy + ex 4-/= o ,
(а) a' y1 -t- b'xy -f- c'x1 -t- d'y 4- c' x +f = o; par suite, lf(x, y) -t- <f (x, y) = o devient
.3. | -t- (b\ + b') xy 4- (ci H- c')x'
| (d\ d') y -(-(eX+e' )x-f- (/"i + f ) — o ,
et donne, lorsque al ■+■ a’ n’est pas nul ,
, , , f" mx -f- n ] , 1 , — ;
eu posant
b\ -+- b' — m , rfi -f- d' — n ,
(èi - 1- b')‘ — 4 (<*X + "') { c X -t- c ') — P,
[(Ü -t- b') (d\ 4- d') — 2 (a\ -t- n') (ci -+- c ')] = t/,
(dy. -+- d'y — 4 (a x + e ) (y y ~t~f') ~ r •
Pour que l’équation (4) soit décomposable en facteurs du premier degré, il faut que p.t^ -h 2qx -h r soit un carré, ce qui donne
(5) ,p—pr— o.
En remplaçant 1 7, p , r, par leurs valeurs, et supprimant le facteur commun a X -f- <1 qui ne doit pas être nul, on parvient à une équation du troisième degré ,
(б) Ai3-f- BV -t- Ci + D = o,
dans laquelle les deux coefficients À et D sont précisément les polynômes qui doivent être annulés, quand les équations proposées (1) et (2) sont décomposables en facteurs du premier degré. Donc, aucun de ces deux coefficients ne
45a CH APITRE V HUITIÈME.
sera nul, et par conséquent l’équation (6) aura au moins une racine, réelle, finie, et différente de zéro.
Si l’on rémplace X par ce nombre réel X', le trinôme px* qx /' deviendra un carré, et, en extrayant sa racine, l’équation (4) prendra la forme
<” ^=-[rï^]±^V7)(w^+^)’
en désignant par m', u\ p', </, les valeurs de m, n , p. q-, elle sera décomposée en facteurs du premier degré, et représentera le système de deux droites, quand p' ne sera pas négatif. Les intersections de ces deux droites avec l’une quelconque des deux courbes proposées f [x , y) — o , ÿ(jc, )') = o, seront les points communs à ces deux courbes.
Lorsque les courbes représentées par les équations f [x, y) = o, <jp [x, y) = o, se coupent en quatre points, l’équation (6) A X3 -j- B À* C X -+- D = o a nécessairement scs trois racines réelles, et aucune des valeurs de p correspondantes à ces racines ne peut être négative. Car, dans ce cas, il existe trois systèmes de deux droites qui passent par les quatre points communs aux deux courbes données. Si l’on désigne Çar ni", n", p", q", les valeurs de m, n, p, q, correspondantes à une seconde racine 1" de l’équation en X, on aura pour équation du second système de droites
elles solutions communes aux équations du premier degré (y) et (8) donneront les coordonnées des points communs aux deux courbes proposées.
Si les courbes proposées ont le même centre, les quatre points auxquels elles se coupent sont les sommets d’un pa-
rallélogramme; il faudra donc que deux des trois systèmes de droites qui passent par ces points se composent de parallèles; par conséquent, deux des valeurs de X annuleront à la fois p et <7, et feront prendre à l’équation (4) la forme
y = r mX + n l-t; ! J?.
\ 2(ai-+-a')J a(a^-|-a)v
Dans ce cas, les fonctions de X, désignées par p et doivent avoir un facteur commun du second degré en X; et comme elles ne sont pas d’un degré supérieur au second , elles ne pourront différer l’une de l’autre que par un facteur 0 indépendant de X. La relation
(p — pr — o
deviendra donc
fp — qrO = o,
et donnera les deux équations du second degré 7 = 0, q — G r = o ,
qui ont l’uiie et l’autre leurs coefficients rationnels. Or, 011 a vu que l’expression q' — pr admettant pour diviseur nX -+- a', l’équation
q ’ — Pr~ 0
a une racine égalé a ; il s ensuit que est racine
de l’une des équations du second degré
q — O, q — Or — o;
donc la seconde racine de la même équation s’exprimera en fonction rationnelle des coefficients a, b , etc. Il en faut conclure que si les courbes proposées ont le même centre, l’équation en X aura au moins une de ses trois racines cominensurables.
Prenons pour exemple les courbes du second degré re-
présentées par les équations
7 y' — 2 G.xjr 4- 1 7 Ær1 4— 6 jr — l4-r 4-3 = 0,
L’équation générale des lignes du second degré qui passent par les points communs à ces deux courbes , sera
On en tire
ce qui donne
La relation q * — pr = o devient donc
OU
(X’ 4- 3X 4- 2) (g.XJ 4- 27 X 4- 4) = o.
En égalant à zéro chacun des facteurs, il vient
d’où
équation qui a pour racines — — wi la seconde, — ~ ,
doit être rejetée parce qu’elle annule le dénominateur des valeurs de y, déterminées par l’équation (9).
Il cil résulte que les trois valeurs de X sont i , 2 ,
Si l’on remplace successivement i par — 1, et 2 dans l’équation (9), on aura
En résolvant ces dernières équations , on trouve les quatre solutions suivantes :
Ces valeurs de x et dey sont les coordonnées des quatre points d’intersection des deux courbes proposées.
