THÉORÈMES SUR LES PROJECTIONS

311. Lorsqu'une droite finie AB et une droite indéfinie OX ( fig . 168) sont ou ne sont pas dans un môme plan , et que, des extrémités de la première, on abaisse sur l’autre les perpendiculaires AA', BB' qui , en général , ne sont point parallèles, la distance A' B' est ce qu’on nomme la projection de AB sur OX, et ces deux lignes ont entre elles une relation remarquable. En effet, si , par le point B, on imagine un plan MBB' perpendiculaire à OX, et que l’on mène jusqu’à ce plan la droite AC parallèle à OX , le triangle ACB sera rectangle en C , et l’angle BAC = « sera ce qu’on appelle l’angle de AB avec OX. Or ce triangle donne

AA' = AB cos a ,

ou bien

(i) A'B' = AB cosa :

ainsi, la projection d’une droite sur une autre est égale à la première droite multipliée par le cosinus de l’angle quelles font entre elles.

312. Considérons un système de plusieurs droites consécutives telles que ABCI) {fig- 169), et par les sommets A ,

B, C, D menons des plans perpendiculaires à l’axe OX : les points A', B', C', D', où ils coupent cet axe, sont les projections des sommets, et les longueurs A'B', B'C', C'D sont les projections des côtés successifs AB, BC, CD. Traçons la droite AD, que nous nommerons ligne résultante : cette droite a évidemment A'D' pour projection. Représentons par d , d\ d" les côtés consécutifs, par a, a', a" les angles qu’ils forment avec les lignes AE, BE', CE" menées parallèlement à OX, et toutes dans le même sens; par A la résultante AD, et par çp l’angle DAE; les projections de ces diverses lignes seront exprimées par d cos oc, d' cos a', d" cos a", A cos <j>. Or, quand les angles «, a', a" sont aigus, les cosinus sont positifs, et, par suite, les produits précédents le sont aussi : il est visible d’ailleurs qu’on obtient A^ en ajoutant les projections A' B', B'C', C'D'; donc on a

(2) d cos a -f - d’ cos a' ■+- d" cos a" = b cosç.

S’il y a des angles obtus , par exemple si DCE" ou a" est obtus [fig. 170), il faut retrancher la projection C'D' des précédentes pour avoir A'D'. Mais alors d" cos a" est aussi un produit négatif; donc la formule ci-dessus donne encore la valeur de A'D' ou A cos <p. Quel que soit , en général , le nombre des côtés placés entre les sommets extrêmes, il est aisé de voir que les angles obtus donnent des projections qu’il faut soustraire de celles qui correspondent aux angles aigus, et comme l’expression de chaque projection est positive ou négative, suivant que l’angle est aigu ou obtus, il en résulte que la formule (2) a- lieu sans exception. Cette formule est la traduction algébrique de la proposition suivante :

La somme des projections de plusieurs droites consécutives sur un axe quelconque est égale à la projection de la ligne résultante.

£ 313. Donnons à l’axe de projection différentes positions.

THÉORÈMES SlIR LES PROJECTIONS.

Stipposens-le d’abord parallèle à la résultante; alors <31 = o , d’où A cos tp = A :

c’est la plus grande valeur que le produit puisse avoir. Quand l’axe est dans un plan perpendiculaire à la résultante, on a

ÿ = go° et A cos 9=0.

Enfin, si l’axe en changeant de position continue de faire le môme angle avec la résultante, le produit A cos y ne changera pas. On déduit delà les conséquences suivantes :

i°. La somme des projections de plusieurs droites consécutives est la plus grande possible, quand l’axe de projection est parallèle à la résultante, et cette somme maximum est égale à la résultante elle-même ;

20. La somme des projections est nulle sur tous les axes perpendiculaires à la résultante;

3°. Cette somme reste la même pour tous les axes qui font des angles égaux avec la résultante.^

314. SoitOG (fig- 171) une droite donnée, et soient OX, OY, OZ trois axes perpendiculaires entre eux ; si par le point G on mène des plans parallèles aux plans YOZ, XOZ, YOX, on forme un parallélipipède rectangle dont les arêtes contiguës OA, OB, OC sont les projections de OG sur les trois axes. Or le carré de la diagonale étant égal à la somme des carrés des trois côtés contigus, il en résulte que la somme des carrés des projections d’une droite sur trois axes rectangulaires est égale au carré de cette droite.

Si l’on veut convertir cet énoncé en formule, on fera

OG = d, OA =f OB = g, OC — h, et l’on aura

Quand on suposeOG=i, il est visible que DA=cosGOX,

OB = cos GO Y, OC = cos GOZ ; donc, on désignant ces trois angles par a , (i , y, on obtient

cos3 a + cos3 p -+- cos3 7=1}

c’est-à-dire que la somma des carrés des cosinus des angles qu’une droite fait avec trois axes rectangulaires est égale à l'unité.

315. Le théorème 311 subsiste pour une surface plane projetée sur un plan quelconque. Considérons d’abord un triangle dont un des côtés soit- parallèle au plan sur lequel on projette la figure : on pourra, sans altérer l’étendue de la projection, supposer que ce plan contienne le côté auquel il était parallèle. Soit donc ABC ( fig. 17a) un triangle dont un côté PC soit situé dans le plan de projection MN : en abaissant sur MN la perpendiculaire AA', le triangle ABC .aura pour projection A'BC. Cela posé, menons A'H perpendiculaire sur BTC, et tirons AH. Cette dernière ligne sera aussi perpendiculaire sur BC , et, par suite, l’angle AHA' mesurera l’inclinaison du plan ABC sur le plan MN. Nous représenterons cet angle par a. Les deux triangles A'BC et ABC ayant même base BC, sont entre eux comme leurs hauteurs A'H et AH, c’est-à-dire qu’on a

A'BC A'H AII cos a ÂBC~AH~ AH — c0ia;

d’où l’on conclut

A ' BC — ABC cos a.

Si le triangle ABC (fig- «73) est dans une position quelconque par rapport au plan de projection , on pourra supposer quwee plan passe par l’un des sommets B. Soit A'BC' la projection de ABC ; en prolongeant AC jusqu’à sa rencontre avec le plan MN, lo point D sera sur A'C', et les triangles A'BD, C'BD seront les projections de ABD et CBD.

THÉORÈMES SOll LES PROJECTIONS. 4^ I

D’après ce qui précède, on aura

A'BD = ABD cos a, C' BD = CBD cos a; et, par conséquent, en prenant la différence,

A'B'C' = ABC cos a.

La proposition qui vient d’être démontrée pourrait être présentée de la manière suivante :

Soit A'B'C' (Jig . 174) la projection du triangle ABC sur un plan quelconque MN ; la figure ABCA'B'C' est un tronc de prisme^triangulaire. Si l’on abaisse A' H perpendiculaire sur le plan ABC, l’anglc-des droites A' A et A'H sera celui de A'B'Cr ou de MN avec ABC. En désignant toujours cet angle par a , on aura

A' H = AA' cos a;

par suite, la pyramide dont le sommet est A' et la base ABC, sera exprimée par

A ABC cos a X AA',

puisque sa hauteur

A'H = AA' cos a.

Les pyramides dont les sommets sont B' et C' auront pour expressions de leurs volumes

■j ABC cos a X BB', | ABC cos a X CC'.

Par conséquent, si l’on représente par V le volume du tronc de prisme , on obtiendra

V = A ABC cos a ( AA'+ BB'-f- CC').

D’une autre part, si l’on prend A'B'C' pour base, on trouvera

V = a A'B'C' (AA'-t- BB'-t- CC');

donc, enfin,

A'B'C' = ABC cos a.

31 6. Maintenant, soient P un polygone plan, et P' sa projection sur un plan fixe. Si l’on décompose le premier en