DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES. — COMMENT ON LES REPRÉSENTE PAR DES ÉQUATIONS

22. On a vu, en appliquant les propositions de la géométrie élémentaire, que lorsqu'on cherche un point d’après certaines conditions, ces conditions conviennent quelquefois à tous les points d’une même ligne qu’on nomme lieu géométrique. Alors, le problème est indéterminé. Appliquons l’algèbre à quelques questions de cette espèce.

Supposons, par exemple, qu’on ait à résoudre la question suivante :

Un point A étant, donné sur une droite indéfinie AX (fig. i3), trouver hors de cette droite un point M. tel quen abaissant sur AX la perpendiculaire MP, cette perpendiculaire soit égale à la distance de son pied au point A.

On reconnaît immédiatement que le problème est indéterminé; car, en prenant les distances arbitraires AP, AP', AP", etc., et en élevant les perpendiculaires PM, P'M', P" M", etc., respectivement égales aux distances AP, AP', AP", etc., les points M, M', M", etc., satisferont aux conditions de l’énoncé.

Si nous désignons par x l’une quelconque des distances AP, AP', AP", etc., et parj- la perpendiculaire correspondante, nous aurons l’équation y == x, qui est indéterminée. Les points M, M', M", etc., appartiennent à une droite passant par le point A ; car, en joignant ce dernier point à deux points quelconques M, M', les triangles rectangles

APM, AP'M' sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels; par suite, les angles MAP, M'AP' sont égaux, et les trois points A, M, M' sont en ligne droite.

L’équation y = x caractérise la droite AMM'M", etc.; c’est-à-dire qu’en donnant des valeurs arbitraires à x, et en prenant les valeurs correspondantes dejy, on pourra trouver autant de points qu’on voudra de cette droite.