L P LA

4yf)

aurons { première, remarque)

cl l’équation

prenant la forme

f {pk, P *’) — °»

lie renfermera plus que deux variables />, //.

Cela posé, prenons pour axe des z l’interseclion OZ [fig- 182) des deux plans u — o, v — o, et pour axe des x et des y les intérsections OX , OY de ces deux plans et d'un troisième perpendiculaire à OZ en un point quelconque de cette droite. Le plan YOX sera perpendiculaire aux deux plans ZOX, ZOY, et l’angle rectiligne XOY Sera la mesure du dièdre formé par ZOX et ZOY. Si d’un point quelconque M de la surface considérée, on abaisse sur ZOX, ZOY les perpendiculaires MP, MP', le plan de ces deux perpendiculaires coupera ZOX et ZOY, suivant des droites PD^ P'E respectivement parallèles à OX, 0\ , et en menant! MD, ME parallèles à OY, OX, 011 aura

MP = MD . sin . M DP,

MP' = ME.sin.MEP',

ou, en nommant « l’angle YOX des deux plans u = o, e = o, et x, y les coordonnées ME, MD de M,

- /> .sin a, - , , •

p' = x sin a;

par suite, l’équation

f{pk,p'k')—o

deviendra

(1) - f[y. h sin a, xA' sin «).=, o,

et comme elle ne contient que les deux coordonnées y cl x, elle représente une surface cylindrique dont les génératrices sont parallèles à OZ. La trace de ce cylindre sur le plan YOX est déterminée par l’équation (1).

5 CTO CHAPITRE QUATRIÈME. *

354. Problème VIII. — Mener, par un point donné, un pian perpendiculaire à une droite donnée (coordonnées rectangulaires).

Soient .r', y' , z' les coordonnées du point donné, et x = nz -4- p, y = bz q

les équations de la droite; le plan demandé passant par le point (.r', y1, z '), son équation sera de la forme

et, comme il doit être perpendiculaire à la droite donnée, on a

Péquation du plan cherché est donc

^ 355. Problème IX. — Mener, par un point donné, une perpendiculaire à une droite donnée ,• déterminer le pied et la grandeur de cette perpendiculaire (coordonnées rectangulaires).

Soient x', y', z' les coordonnées du point donné, et - (i) x = az+p, y=.bz + q

les équations de la droite. Si par le poiut.on fait passer deux plans, l’un perpendiculaire à la droite donnée, l’autre contenant cette droite, il est visible que leur intersection sera la perpendiculaire demandée; les équations de ces plans, prises ensemble, peuvent donc être regardées comme celles de cette perpendiculaire. D’après les nos 354 et 348, ces équations sont

,3. I (/'— bz'— q)(x — x') — (x'— nz'— p) (y — y' )

DU PLAN

On aura évidemment le pied de la perpendiculaire en résolvant les équations (t) et (2) par rapport à x ,y, z. Pour trouver sa grandeur, on écrira de la manière suivante les équations de la droite donnée :

| x — a/ = a ( z — z') -+- p — x' 4- az',

* ( / — /= b iz — 2') + q — 7'+ bzf.

Cela posé, si l’on substitue dans l’équation (2) ces valeurs de x — x' et de y — y', il vient

(u!4- é’+i) (s — z') -H a [p — x'-(- hz')

-t- b(q —y' + hz') “ o,

d’où

en posant, pour simplifier,

Les équations (4) dodnent ensuite

Donc, en désignant par P la distance cherchée, on aura, en remplaçant H ,

\J ( x'-pY

Si l’on votdait connaître les projections de la perpendiculaire, on les déduirait aisément des équations (2) et (3). Mais on les détermine aussi en observant que l’on connaît deux points de cette ligne, savoir : le point donné et le pied de la perpendiculaire. ..

5o2 chapitre quatrième.

350. Problème X. — Connaissant l'équation d’un plan, trouver les angles qu’il fait avec les plans coordonnés (coordonnées rectangulaires).

Soit

A x -+- Hy + Ci + D = o

l’équation du plan. Désignons par a, ê, y les angles qu’il forme avec ceux des^'z, des xz et des xy. La perpendiculaire abaissée de l’origine sur le plan , et qui a pour équations

fait évidemment les angles a, S, y, avec les axes des x, des y et des z ; on a donc