TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNES
359. Formules pour passer à des axes parallèles. — Supposons d’abord que les nouveaux axes soient parallèles âux anciens , et qu’ils aient la même direction. En désignant {fig. 1 83) para:, y , z les coordonnées d’un point quelconque M j relativement aux axes primitifs; par x',jr, z1 celles du même point, relativement aux nbuveaüx axes; si l’on appelle a , c les coordonnées de la nouvelle origine rapportée au premier système, on aura visiblement
ï = it + x', y = J+/, z — c -h
Chaque coordonnée doit être prise avec le signe qui convient à sa position.
360. Formules générales pour changer ta direction des axes. — Soient (fig. 184) OX, OY, OZ trois âxes quelconques; OX', OY', OZ' trois autres axes; x,y , z les coordonnées d’un point quelconque M rapporté aux premiers; x1, z' celles du même point relativement aux derniers : on aura , dans le cas de la figure,
x = OQ , y — PQ, z ss PM,
*'=OQ', /= P'Q', a'=P'M.
Par l’origine commune O, menons au plan des yz une perpendiculaire indéfinie ON, puis projetons sur cette normale les deux lignes brisées x -1 -y z et x' -y- y’ z' . Les
coordonnées^ et z étant perpendiculaires à ON, leurs projections sur cette droite sont nulles, de sorte que la projection de la première ligne briséç se réduit à X cos (N, r);
5o6 CHAPITRE CINQUIÈME. “
«•elle de la seconde ligne brisée est'
x cos ( N , x') -f- y' cos ( N , .y' ) -t- z' cos ( N , z' ) ( 312 ).
Or ces deux lignes étant terminées aux mêmes extrémités, leurs projections sont égales; donc
xcos(N, x) =ac x' cos(N, x' ) -hy' cos(N,/') -+- z'cos(N, z').
Cette formule donne la valeur de x en fonction de x y z' et des angles qui fixent la position des nouveaux axes par rapport aux anciens. Ou trouvera de même les valeurs de y et de z, en projetant les lignes brisées x+y-f-z et x1 -)-y -jrz' sur deux perpendiculaires ON' et ON" menées respectivement aux^plans des xz et des xy. On aura ainsi les trois formules .
txcos(N,x) = x' cos (N, x') -\-y' cos (N, y') ■+■ z' cos (N, z'), y cos (N ’,y) = x' cos (N',x')-f-y' cos (N',/') -f- z' cos (N', s') , z cos(N",z) = x' cos (N", x'} -Hy'cos(N",iy,)+z'cos(N",2').
Ces formules sont peu employées, parce qu’il arrive rarement que l’on ait à changer des axes obliques en d’autres axes obliques.
361. Quand les axes primitifs sont rectangulaires, les trois perpendiculaires ON, ON', ON" coïncident avec ces axes, de sorte que les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un. système do coordonnées obliques, sont
x — x' cos (x', x) -h y' cos f y', x) -t ■ z' cos ( z', x) l = ax' by'-h cz‘ ,
(■) = -r'cos(x',y)-t-ycos(7', y)-t-z'cos(z',/)
f z r= x' cos (x', z) -t- y' cos (y ' , z~) -f- z' cos ( z', z) •
Les neuf constantes qui entrent dans ces équations rte
THANSFORMATrON DES COORDONNÉES , etc. 5o^
peuvent pas toutes recevoir des valeurs arbitraires. En clfet, a , a', a" par exemple, désignant les cosinus des angles que forme une même droite OX' avec trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, doivent être soumis à la condition (n° 336) ; il en est de même pour b, b\ b" et pour c , c\ c"\ pa r conséquent, il faut toujours joindre aux formules (2) les trois relations suivantes :
ce qui ne laisse que six constantes dont on puisse disposer arbitrairement.
302. Si l’on veut passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système d'axes rectangulaires , 011 se servira des formules (2) du numéro précédent 5 mais il faudra exprimer que les nouveaux axes sont perpendiculaires entre eux. Pour cela, on égalera à zéro les expressions de cos(x', y'), cos (x', a'), cos(/', z7)
en fonction des cosiuus <2, &, c (n° 339). En joignant ces nouvelles équations de condition aux trois qu’on a déjà, il y en aura six en tout , savoir :
Iab -|- a' b'+ a" 6"= o , ac -\ - a' c' + a" c" — o , bc ■+■ b'c' + b"c"=o-,
de sorte que , dans le cas actuel , il ne reste plus que trois constantes arbitraires.
363. Dans le cas de deux systèmes rectangulaires , on a quelquefois besoin de résoudre les formules (a) par rapport
5()8 chapitre cinquième.
à x', j\ z'; il suffit, pour cela, de les ajouter: i° après avoir multiplié la première par-«, la deuxième par a' et la troisième par a"; 2° après les avoir multipliées respectivement par b, b ', b" ; 3° par c , c' , c" . Ces opérations donnent, en ayant égard aux relations (3) et (4), le9 formules
!x' — nx + a' y + a" z, x' = bx+b'y + b"z, d = ex -+• t'y -t- c" z.
On obtiendrait directement ces formules, en regardant x', y' z' comme les coordonnées primitives, et en projetant alors x , y, z successivement sur les trois axes OX', OY', OZ'. Sous ce point de vue, on reconnaît qu il doit exister entre les constantes les six relations
la1 -f- b1 -4- c2 — i.
f no -f- bb -(— cc' zxz
\ aa"-\r bb" -\r ce" 3
( a'a"+b,b"+c'c"=zo,
qu’il faut regarder comme entièrement équivalentes aux relations (3) et (4) ; car alors les unes et les autres ne font qu’exprimer, dans un ordre différent, que les angles XOY, XOZ, YOZ et X'OY', X'OZ', Y.'OZ' sont tous droits.
3b Y. Formules d’Euler. — Le changement des axes rectangulaires en d’autres axes rectangulaires, est celui dont l’emploi est le plus fréquent. Les formules qui conviennent à ce cas, et que nous avons données (tios 361 et 362) , sont simples et symétriques; mais elles ont l’inconvénient de contenir neuf constantes a, b, c, b\ etc., qui se trouvent liées par six équations de condition, entre lesquelle»
TRXNSFOll MICTION BF.S COORDONNÉES, etc. "J«9
l’élimination «'effectue péniblement pour réduire à trois données, comme cela doit arriver, la détermination des • nouveaux axes relativement aux anciens. Nous allons faire voir qu’on peut, en effet, exprimer les neuf constantes en fonction de trois autres seulement.
Soient OX, OY, OZ les anciens axes rectangulaires, OX', OY'. OZ' les nouveaux {ftg. i85); de plus, soit OD l’intersection des deux plans XY et X'Y'. Nous désignerons par y l’angle DOX , par laugle DOX', et par 9 l’angle des plans XY et X'Y'.
Cela posé, concevons que le point O soit le centre d’une sphère rencontrant en A, 11, C, A', D les lignes OX, OY, OZ, OX', Ol); et formons les triangles sphériques l)A A', DA' B, DA'C. I.es cosinus des célés AA', BA', CA' sont respectivement égaux à n"; d’ailleurs, en supposant les
arcs et les angles évalués en degrés , on a
• DB = 90°— DA' = ÿ, DC = yo“,
A'I>B = 9, A' DA = 180" — 0 , A'DC =r go" — 0.
On trouve donc, par la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique ,
a = cos f cos \|» — sin ç sin i]/ cos 0 , a' = sin f cos •>)/ -f- cos o sin -l cos 9 , a"= sin 4< sin 9.
II est visible que les valeurs de A, b' , b " se déduisent des précédentes, en changeant 1 p en 90"-)- puisqu’alors la ligne OX' va se placer sur OY' 5 on obtient ainsi
b cos <psin îji — sin <p cos i|» cos 9 ,
A' =r — sin <p sin •} + cos <j> cos \|/ cos 0 , b" =s cos ^ sin 9.
Enlin, pour avoir les valeurs de c, c', c", ou remplace, dans les valeurs de a, a! , u", 9 par t)o°-t- 9 et ^ par yo";
5lO CHAPITRE CINQUIÈME. ,
en eifet, par ce changement , le plan X'OD devient Z'OD, et la ligne OX' devient OZ\ On trouve ainsi
c = sin <f sin G , c' — — cos y sin 9, c" =z= cos 0.
En substituant ces valeurs daus les formules ( 2 ) du n° 362, U vient , , ,
x =± x' ( cos <p cos — sin 9 sin cos 0)
— y. (cos? sin 4« + sin ç>cos^ cos 0) -+- s' sin y sin 0, y — x1 ( sin ® cos ÿ 4- cos <p sin cos 0 )
— y (sin ? sin •(< — cos ç cos •(/ cos 0) — z'cos<psin0,
z = xf sin ^ sin 0 + y cos ^ sin 0 -f- z' cos 0.
Telles sont les formules d’Euler.
363. Manière d’obtenir l’intersection d’une suif ace par un plan. — Pour avoir l’intersection d’une surface par l’un des plans coordonnés, le plan des xy par exemple, il suffit de faire z = o dans l’équation de la surface. Proposonsnous maintenant de déterminer l’intersection de la surface
(fl) f(x,y,z) = o
par un plan quelconque. L’idée qui se présente naturellement, d’après ce qui vient d'être dit, c’est de rapporter cette intersection à deux axes tracés dans le plan coupant. Pour y parvenir, supposons les axes rectangulaires; déplaçons aussi l’origine, en ajoutant aux valeurs (2) les coordonnées, J\ g, h (n° 339), et portons ensui te ees valeurs dans l'équation (a). La surface sera rapportée aux nouveaux axes; et en faisant z' = 0 dans l’équation résultante, on aura l’intersection de la surface par le plan des x' y', qu’on peut supposer être le plan donné.
Mais on peut faire — o dans les formules avant la sub-
TRANSFORMATION DES CQQUDONNÉES , etc. :>II
sli tution ; et si , en outre, on prend l’axe des x' parallèle au plan XY, en posant <fi — o, on aura
x=f ■+■ x' cos y — y' sin y cos 0 , ,
y = g x' sin y -+- y' cos y cos 0 >• z = h ■+■ y' sin 0.
En mettant ces valeurs dans l’équation
on obtiendra l’intersection demandée, rapportée à deux axes rectangulaires situés dans le plan coupant.
On peut trouver directement les formules (9) en opérant, de la manière suivante : Soit M (fig. 186) un point quelconque pris dans le plan Y'OX', dont la trace sur le plan XY est OX'; et soient les coordonnées
OQ = x, PQ = y, PM = 3, W=x', P' M =/."
Joignons P' P, et menons P'Q' parallèle à OY, et P'G pa-7 rallèle à OX ; l’angle GPP' est égal à XOX', et l’angle MP' P représente l'inclinaison du plan YOX' sur le plan YOX. Cela posé, si nous faisons
MP' P = 0 et XOX'=y,
les triangles rectangles MPP', PP'G, OP'Q' donneront
MP —y1 sin 0, PP' = y' cos 0 , ’ GP' == PP' sin y ,
PG == PP' cos o, 0Q'.= x' cos y , P' Q' = x' sin y.
Comme on a r . . T
x=OQ'— GP', y P'Q'-t- GP, 3= MP,
.jU , . ... •• z- ; , » • : ; • . j.i 1 ■ . - o }■
si l'on remplacé ces lignes par leurs valeurs, et si Ion
ajoute les constantes f, g, A, on retrouvera les formules (9).
licmarque. — Dans le problème du n° 305 , lorsque le plan sécant est donné par son équation, on commence par
calculer les angles y et 9, ce qui est facile; car, si A-r-t- Br+-Ci + D= o
est l’équation du plan, en faisant z = o, qn aura, pour celle de sa trace sur XY,
Ax -+- B/ + D = o, d’où tang <f = ,
et, par les formules du nu 356 ,
cos 0 = — , • - ■ .
Si le plan sécant était perpendiculaire au plan XY, l’angle 0 serait droit, et les formules (q) deviendraient
* = / + / cos , x — g + x' si" ç , ï = A+ /.
Les formules qui servent à rapporter une surface à de nouveaux axes étant linéaires, il en résulte que le degré d’une équation algébrique à trois variables ne change point par la transformation des coordonnées. Cette remarqué conduit à classer les surfaces algébriques d’après le degré de leur équation. Ainsi une surface sera du premier, du deuxième, etc., degré, suivant que l’équation qui la représentera sera elle-même du premier, du deuxième, etc., degré. On dit aussi , surface du premier, du deuxième, etc., ordre. ' .
366. Une surface du degré in ne peut pas Çirc coupée par un plan suivant une ligne d'ordre supérieur à in. — En effet, si l’on prend le plan sécant pour celui des xy par exemple, on obtiendra l’équatio.n de l’intersection en faisant z = o dans celle de la surface rapportée aux nouveaux axes. Le degré de l’intersection sera donc en général égal à in. Il pourra être moindre que m dans quelques cas particuliers, car l’hypothèse z = o peut faire disparaître jous les termes du degré ni. Il est même possible que tous
transformation des coordonnées, etc. 5 1 3 les termes de l'équation disparaissent : alors le plan z — o fait partie de la surface considérée, et l’équation de cette dernière se décompose en facteurs.
367. Une surface du degré m ne peut être rencontrée » par une droite en plus de m point s. ~ En effet, si l’on prend la droite donnée pour axe des x, et si l’on fait alors y = o , z = o dans l’équation de la surface, on aura une équation qui sera au plus du degré m , et qui donnera, pour valeurs de x , les distances de l’origine aux différents points d’intersection de la surface avec la droite ; donc la proposition énoncée est vraie.
Il peut arriver que les hypothèses y = o, z = a vérir lient l’équation, indépendamment de toute valeur attribuée à x ; dans ce cas, la droite est tout entière sur la surface.,
SURFACES DU SECOND DEGRÉ
. ;ii >i; . -H..!- >, -, s.
