CENTRE

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368. Ou nomme centre d’une surface un point te/, que toute sécante passant j>ar ce point a scs points de rencontre avec la surface à égale distance deux à deux du premier.

Il résulte de cette définition que si l'origine des coordonnées est placée au centre d’une surface quelconque , Vêqiuition de celte surface ne doit pas changer en y remplaçant x, y, z par — x, — y, — z. — En elïet, considérons une sécante menée arbitrairement par le centre O ( fig- 187) , elle coupera la surface en des points qui seront deux à deux équidistants du point O. Soient M et M' deux de ces points; menons les coordonnées MP, M' P' parallèles à l’axe OZ; PQ, P'Q' parallèles à l’axe OY; puis joignons OP et 0P\ Les trois points P, O , P' seront en ligne droite; par suite, les triangles MOP, M'OP' seront égaux. Cela prouve d’abord que les coordonnées z des points M et M' sont égales et de signes contraires, puisque OP et OP' sont égales. Les triangles POQ, P'OQ' sont égaux, il en résulte que les coordonnées a: et y du point M sont égales et de signes contraires à celles du point M'. On voit alors que, s’il y a sur la surface un point dont les coordonnées soient x\y\ z\ il se trouve nécessairement sur cette surface un second point dont les coordonnées sont — x\ — y1, — z'. Par con-

SI ni- ACES DU SECOND DEGRÉ. 5 I 5

séq ucnl, 1 équation de la surface ne doit pas changer en y . remplaçant x , y, z par — x , — y, - — z.

Réciproquement, si l'équation de la surface n'est pas altérée, lorsqu'on y change s, y, z en — x, — y, — z, F origine des coordonnées est un centre de la surface. — En effet, les coordonnées d’un point quelconque M de la surface étant, par exemple, x1, y z ', il existe un second point M' qui a pour coordonnées — x', — y' , — z' \ menons MP, M'P' parallèles à OZ; PQ, P'Q' parallèles à OY, et traçons les droites OP, OP', OM, OM'. Il est visible que les triangles PQO, P'Q'O sont égaux; d'où l’on conclut que OP = OP' et que POP' est une ligne droite. Alors les triangles MOP, M'OP' étant aussi égaux, il en résulte que OM = OM' et que MOM' est une ligne droite. Donc l’origine est un centre.

Ainsi , pour que l'origine des coonlonnées soit le centre d’une surface algébrique ou transcendante , il faut et il suffit que l'équation de cette surface ne soit pas altérée , lorsqu on y remplace x , y, z par — x , — y, — z.

Quand l’équation proposée est algébrique, la condition que nous venons d’énoncer revient à celle-ci : Pour que l origine des coordonnées soit la centre et une surface algébrique , il faut et il suffit que les ternies de l' équation soient tous de degré pair, ou tous de degré impair par rapport, tntx variables. Dans le second cas, il ne doit pas exister de terme indépendant.

Remarque. — L équation est, bien entendu, préparée de manière que l’un de ses membres soit nul , et qtfe l’autre membre soit une fonction entière des coordonnées.

369. Il résulte de ce qui précède, que le centre d’une surface algébrique de degré impair est situé sur la surface; puisqu en y transportant l’origine, l'équation de la surface n ayant plus de terme indépendant des variables, celte

5lfi CHAPITRE SIXIÈME,

équation sera vérifiée par les coordonnées du centre X = 0, y = o, z ~o.

Le centre d’une surface de degré pair peut être situé ou non situé sur la surface.