Maintenant, soit i.’l

Y(x,jr, z)=sO

l’équation d'une surface algébrique rapportée à des axes quelconques. Pour reconnaître si elle admet un centre, il faut transporter les axes parallèlement à eux -mêmes en un point indéterminé ( x \ y', z') , en mettant dans F(x, y, z)=o, jc-f- x', y-hy', zy-z' à la place de x, y, z; ensuite, égaler à zéro les coefficients de tous les termes où la somme des exposants n’est pas de même parité • que le degré de l’équation, et voir si l’on peut satisfaire à ces conditions par des valeurs réelles et finies des coordonnées x y ' , z\ qui alors donneront la nouvelle origine pour le centre demandé.

371. Appliquons ces principes aux surfaces du second degré qui sont toutes comprises dans l’équation générale

, 1 A x:4- A'.?-^ A"zJ 4- 2 B/z-|- aB'xz 4-2 B"xy

Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes , en remplaçant# par x 4- x y par y -h y', s par z -+- z\ l’ém quation proposée deviendra

| A x1 4- K! y7 4- A” z1 -H 2 B^z 4- 2 B’ xz 4- 2 B” xy »

2 | -+- 2 Ci# -(- aC', y -h 2C" z -+• E, ~ o,

en faisant, pour abréger, : ’ 1,1 11

C, = Ax' 4- B'z' + BV-t-C,

K, = A*'»4- Ay*4-A"z'î-|- 2B/z'-f aB'x'z' 1 2(Jx'4- 2 C’y’ -H a CT *' 4- K.

SURFACES Dl! SECQND DEfiRÉ. 5l?

Pour que la nouvelle origine soit un centre, il faut et il suffit (370) que l’on ait

ce qui conduit aux équations

IAx' +B'!'+B7+C =o,

K' y' + Bî'+B"/+C' = o,

Ces équations , qui déterminent les coordonnées du centre , s’obtiennent évidemment en égalant à zéro les dérivées du premier membre de l’équation (t) , prises par rapport à x, à y et à z , et en remplaçant ces variables par x\ y', z' . En résolvant les équations (3) , on a des valeurs de la forme

dans lesquelles

D = AB’ -+- A' B" + A" B"’— AA'A" — a BB' B",

N =C(A'A"-B,) + C,(BB' — B"A")4-C"(BB" — B'A'), • N' = C' ( AA" — B'’ ) 4- C"(B' B" — BA ) 4- C ( BB' — B"A" ),

N" as C" (AA" — B">) -+- C(BB"— B' A') 4- C'(B'B"— BA).

II peut se présenter trois cas :

i°. Si le dénominateur D est différent de zéro, les valeurs de x\ y'-,.2' sont réelles et finies; par conséquent, la surface représentée par l’équation (i) admet un centre unique;

in. Si le dénominateur D est nul , et que les trois numérateurs ne soient pas nuis à la fois, l’une au moins des coordonnées du centre est infinie; alors la surface représentée par l’équation (i) n’a pas de centre ;

3°. Si le tlénominateur D et les trois numérateurs N, N', N" sont nuis en même temps, les valeurs de x', y', z' se présentent sous la forme f; par suite, les équations (3)

se réduisent à deux équations distinctes, ou même à une seule, et alors la surface admet une infinité de centres.

372. Lorsque le système (3) se réduira à deux équations distinctes , çe qui arrivera si les valeurs de t.' et y' , tirées des deux premières par exemple, vérifient la troisième, quel que soit z\ on en conclura qu’il existe une infinité de centres, situés tous sur la droite AB (fig. 188) représentée par l’ensemble de ces deux mêmes premières équations; et, dans ce cas, la surface sera nécessairement un cylindre à base elliptique ou hyperbolique.

En effet, soit M uu point quelconque de la surface représentée par l'équation (i). Joignons le point M aux différents points G, G', etc., de AB, et prolongeons les lignes en N , N', etc., de manière que

MCI = GN, MG' = G' N', . . . ;

les points N, IN', etc., seront sur une droite parallèle à

AB, et cette droite sera visiblement tout entière sur la surface dont il s’agit. En joignant de même un point quelconque IV de NN' aux différents points G, G', etc., de AB et en prolongeant ces lignes de quantités égales, les points

M, M', etc., ainsi déterminés, appartiendront à une seconde droite parallèle à AB et qui sera tout entière sur la surface. Il résulte de là que tout plan mené par AB coupe la surface (î) suivant deux droites parallèles à A"B et qui en sont équidistantes. La surface que nous considérons est donc un cylindre dont les génératrices sont parallèles à AB. Nous ajoutons que la base de ce cylindre est une ellipse ou une hyperbole ,• car si l’on mène par un point quelconque G de la ligne AB un plan qui ne la contienne pas, ce plan coupera la surface suivant une courbe du second dqgré qui aura visiblement le point G pour centre.