Quand les équations (3) se réduiront à une seule
SURFACES DU SECOND DEC.KÉ
5 tp
ce qu’on reconnaîtra en voyant si la valeur de x', tirce de la première par exemple, vérilie les deux autres, quels que soient y' et z', on en conclura qu’il existe une infinité de centres situés tous dans le plan P déterminé par la première équation 5 et alors la surface représentée par l’équation (1) sera formée de deux plans parallèles à P. En ellet, soit M ( fig . 189) un point quelconque de la surface (1), joignons ce point aux différents points G, G', G", etc., du plan P, et prolongeons les droites \IG, MG', MG", etc., de longueurs égales GjN , G'N'. G".\ ", etc.; les points N , JV, JN", etc., seront dans un plan S parallèle à P. et ce plan fera partie de la surface (1). En joignant de même un point quelconque N du plan S aux différents points G , G', G", etc., du plan P, et en prolongeant de quantités égales les droites NG, NG', KG", etc., les points M,JM', M", etc., ainsi ob- , tenus, seront sur un second plan S' parallèle au plan P, et qui fera partie de la surface que représente l’équation (1). Nous disons de plus que. cette surface n’a aucun point situé hors des plans S et S' ; car, s’il en existait un, eu menant par ce point une droite coupant les plans S et S', cette droite rencontrerait la surface en trois points, sans y être contenue tout entière, ce qui est impossible. 11 est donc prouvé que l’équation (1) représente deux plans parallèles à celui qui contient les centres, et à des distances égales de ce dernier.
Des plans diamétraux.
374. On nomme plan diamétral d’une surface un plan qui passe par les milieux d’une suite de cordes parallèles à une même direction. Nous allons faire voir que, dans une surface du second degré, il existe un plan diamétral pour chaque système de cordes parallèles; nous exposerons en même temps la marche à suivre pour trouver son équation. ,
Die
5ao chapitre sixième.
Soit
A x3 -+- A'^’-f- A" z- -+• 2 B yz + 2 B' xz -4- 2 B" xy -i- 2 C x -f- 2 C!y + 2 Cw 2 + E xx o ,
ou , pour simplifier, x (0 F (■'.J'-, z) — a
l’équation d’une surface du second degré. Supposons que x — mz , y — riz.
Soient les équations d’une droite, menée par l’origine, parallèlement aux cordes que nous considérons. Si l’on désigne par x\ y', z' les coordonnées du milieu de cette corde, et si l’on transporte les axes parallèlement à euxmêmes, de manière que l’origine soit en ce point milieu $ l’équation de la surface deviendra
et celles de la corde dont il s’agit, seront
(3) x = mz, y == nz.
En éliminant x et Rentre les équations (2) et (3), l’éqüàtion du second degré en z
(4) F^Z-t-x', nz+y', » + !')= O,
à laquelle on parvient, aura pour racines les coordonnées z des points d’intersection de la surface et de la corde, et comme ces coordonnées sont égales et de signes contraires, l’équation (4) ne doit pas contenir la première puissance de z. Alors en égalant à zéro le coefficient du terme du premier degré dans cette équation, on obtiendra une équation en x',y', z' , m, n qui sera celle du lieu géométrique des milieux des cordes parallèles à la direction donnée. En faisant le calcul, qui ne présente aucune difficulté, on trouve que cette équation est
(Am B'-f- B '«) x' (A'n + B B" m) y'
-+- ( A" B « -f- B'm)z' + Cm 4- C'«+ C" = o,
SURFACES DU SECOND DEGRÉ
5ai
ou, en ôtant les accents,
(Am -t- B'+ B"/i) x + (A'« + B -t- B" m)y
-t- ^ A" B n -F- B/ ni ) z — (- C m -t— C’ n -t- Cff — . o .
Les variables x , y , z étant à la première puissance , celle dernière équation représente un plan , comme on l’avait dit en commençant.
Nous devons faire remarquer que le coefficient de x est la dérivée relative à cette variable des termes du second degré qui entrent dans (i), dérivée où l’on remplacerait x, y\ z par m, n et i. Une composition semblable a lieu pour les coefficients de^ et de z.
375. L’équation du plan diamétral peut être écrite de la manière suivante :
Sous cette forme on voit qu’elle est satisfaite, quels que soient m et n , quand on a en même temps
IA x -+- B'z -t- B"y + C= o,
A y+ Bî + B".r + C'=o,
' Or, ces dernières équations étant celles qui déterminent les coordonnées du centre, il en résulte que, dans les surfaces douées d’un centre, tous les plans diamétraux passent par ce point. 11 est facile de prouver que, réciproquement, tout plan qui passe par le centre est un plan diamétral.
Dans les surfaces dépourvues de centre, les équations (7) représentent trois plans qui se coupent en un point situé à l’infini. Lorsque deux de tes plans se rencontrent , leur intersection est parallèle au troisième; par suite, ils sont parallèles à une même droite : autrement, ils sont parallèles à un même plan.
5aa CHAPITRE SIXIÈME.
Dans le premier cas, si l’on désigne par D la droite à laquelle les plans (7) sont parallèles, tous les plans diamétraux seront parallèles à cette droite.
En effet, les valeurs de x, y , z , qui satisfont à l’équation (6) et à deux quelconques des équations (7), sont infinies, puisque s’il n’en était pas ainsi, les équations (7) admettraient des valeurs finies pour x, y , z. Le plan (6) est donc parallèle à la droite D représentée par deux des équations (7).
Si les plans (7) sont parallèles , tous les plans (6) le sont aussi •, car les coefficients des variables x, y , z sont proportionnels dans les équations (6) et (7).
^Remarque. — Dans une surface quelconque
si l’on imagine une suite de cordes toutes parallèles à une même direction , et qu’on prenne les milieux de ces lignes , le lieu géométrique de ces points formera ce qu’on appelle une surface diamétrale. Elle aurait plusieurs nappes, si chacune des droites parallèles avait plus de deux points, communs avec la surface proposée; et comme le nombre de ces points égale, en général, le degré m de l’équation
leurs combinaisons deux à deux détermineront sur une i droite indéfinie, — — — cordes différentes, dont
meme 1
les milieux sont en même nombre. Par conséquent, le degré de la surface diamétrale aura généralement pour valeur m (m — 1)
Pour les surfaces du second ordre, où m — 2, les suraces diamétrales ne peuvent être que des plans. Cette conséquence s’accorde d’ailleurs avec ce qui préeèdc.
SURFACES nu SECOND DECRU. 523
Des plans principaux.
376. On nomme plan principal un plan diamétral qui est perpendiculaire aux cordes qu’il divise en deux parties égales; celles-ci sont appelées cordes principales. Nous allons démontrer que, dans toute surface du second degré, il existe au moins un plan principal.
Soit
| A A'/’+ A." î’ + îB/ï + 2B'«
\ + îB"i/+îCi + 2 C'j +2C": + E = o
l’équation d’une surface du second degré, rapportée par hypothèse à des axes rectangulaires.
Soient
’fa) - ' ' ' j * =
les équations d’une droite quelconque. On sait que le plan diamétral correspondant a pour équation
/3 \ ( (Am 4- + -f-B 4- Wm)y
i + (A''4- B/z 4- B’ m ) s + Cm + C'/z -f- C"= ô.
Les conditions de perpendicularité de la droite (2) et du plan (3) sont (353)
A" + m ’ À"4- Bn + B'/n = n ’
Am n A'« + B + h" ni
désignant par s la valeur commune de ces rapports, on obtient
il 2 4 ' CHAPITRE SIXIÈME.
L’éliminatioi) île m et île n entre ces trois équations conduit à
— B"’(j — A") — 2 BB'B"= o;
ou bien , en développant,
/ s'— (A+A'-h\")s--h(AA’— B"’-f-AA"— B'’+ A'A"— B1).»
j -4- ( AB3-t- A' B'3-+- A" B"1— AA' A''— 2 BB' B") = o.
Cette équation étant du troisième degré, admettra toujours une racine réelle, à laquelle correspondront des valeurs réelles de m et de n, qu’on saura tirer de deux qftelconques des équations (5). Par conséquent, dans toute surface du second degré, il existe au moins un plan principal . L’équation de ce plan est
s [mx + »/4-ï) + Cw+ C ' n -f- C"= o, puisque chacun des rapports (4) a pour valeur s.
L’existence d’un plan principal se trouve ainsi démontrée pour tous lés cas. Toutefois, la proposition comporte des développements qui se déduiront aisément des considérations qui vont suivre. Nous devons faire remarquer immédiatement que le plan principal qui vient dlêtre obtenu peut être situé à une distance infinie de l’origine des coordonnées-, mais ce cas n’a lieu que pour les surfaces dépourvues de centre, tous les plans diamétraux passant par ce dernier point dans les autres surfaces» y
SIMPLIFICATIONS DE l’ÉQUATION GÉNÉRALE UES SURFACES DU SECOND DEGRÉ PAR LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.
Surfaces douées d'un centre.
377. Line surface du second degré douée d’un centre, quand on la rapporte à trois axes rectangulaires, est représentée par une équation de la forme
A*’+A A" z1 -+- 2 B.rz, + 2 B' as 4- 2 IV xy
SURFACES DIT SECOND DEGRÉ
On fait d’abord disparaître les termes du premier degré, en transposant les axes parallèlement à eux-mêmes au centre de la surface ou à l’un de ses centres , si elle en a une infinité. Les termes du second degré ne sont pas altérés , mais le terme indépendant change de valeur ; on a alors une équation de la forme
| A.r’4- A" î’+îB/j+îB1 « + 2 B" xy
Nous effectuerons une seconde simplification en prenant trois nouveaux axes rectangulaires ayant même origine que les précédents, et tels, que le nouveau plan XY’coïncide avec le plan principal dont nous avons reconnu l’existence (376). Il est visible que la nouvelle équation de la surface doit être telle, que les deux valeurs de z, que l’on en déduit, soient égales etde signes contraires ; d’où il résulte que cette équation ne contiendra pas les rectangles xz et yz. Enfin, on débarrassera l’équation du troisième rectangle xy, si l’on fait tourner les axes des x et des y dans leur plan, en les laissant rectangulaires , par les formules connues
x — x' cos w -1- y' sin w , y — x' sin u 4- y ' cos w ,
qui conduiront à
Cette valeur étant réelle et toujours admissible, on en conclut que l’équation de la surface dont il s’agit peut être ramenée à la forme
x, y, z étant des coordonnées rectangulaires. Cette équation comprend toutes les surfaces qui ont un centre ou une infinité de centres.
