Prenons, pour second exemple, la question suivante

Étant donnés deux points A, B (fig. i4) , trouver un troisième point C , tel que la somme des carrés de scs distances aux deux premiers soit égale au carré de la droite AB.

On voit encore ici que le problème est indéterminé; car tous les points de la circonférence décrite sur AB comme diamètre répondent à l’énoncé.

Appliquons l’algèbre à la question dont il s’agit. Abaissons du point C la perpendiculaire CP sur AB, et faisons

AP = x , CP = y, AB = 2 a.

Les triangles rectangles APC, BPC donnent

AC =a.’ -t CB =(2 a — x)7 ;

d’où }

a/’-t- sx’ — 4 ax •+■ 4 = 4 >

et, par suite,

(1) * y'-=z7.ax — x1.

Il est visible qu’on doit arriver à la même équation, quelle que soit la position du point C au-dessus ou au-dessous de AB. D’ailleurs, l'équation renfermant deux inconnues , on pourra donner à l’une d’elles , x par exemple , des valeurs arbitraires, qui feront connaître les valeurs corres-

• UES LIEl'X GÉOMÊTItiyrES. 3;)

pondantes de x. Comme on a

y-~ \] jc [“l a — j:) .

on voit que x ne peut recevoir.de valeurs négatives, et qu'aucune valeur positive ne devra surpasser 2 a. En faisant varier x deo à 2a, chaque valeur de cette inconnue donnera pour y deux valeurs égales et de signes contraires, que l’on portera etj sens opposés à partir de la droite AB.

Nous ferons remarquer que le maximum du produit x (2 a — .r) esta*, et correspond à x — a. Alors, en-faisant varier x de o à a, y croitra de o «à a, et pour les valeurs croissantes de ,r, de a à ia ,y diminuera de a à o. Ce qui s'accorde avec la géométrie.

11 résulte de là que l’équation yx = 2 ax — x * donnera tous les points de la circonférence, en faisant varier .r de o à 2a.

Ces deux exemples font entrevoir la possibilité de repré- . senter des lignes par des équations. Nous verrons, par la suite, que toute ligne dont on connaît ou la déGnition, ou la génération, ou une propriété caractéristique, peut être représentée par une équation, • . .

24. Dans la plupart des problèmes de géométrie, on a pour but de déterminer des points ; c’est pourquoi nous allons d’abord faire connaître la manière de fixer analytiquement la position d’un point.

Pour déterminer la position d'un point sur une droite AX (fig. 1 5 ) , on donne sa distance à, un point fixe A de • cette droite; on aflêcte cette distance du signe -f- ou du signe — , selon qu’elle est comptée du côté AX, ou du côté AX'.

.D’après cette convention, si l’on désigne d’une manière générale par x cette distance prise avec le signe qui lui appartient, l’équalion x = -f- 3 conviendra à un point P situé sur AX à une distance de A, égale à 3 unités; et l é-

quatiou x = — 3 déterminera un point P' placé sur AX' àr la meme distance du point A.

2o. Pour fixer la position d’un point sur un plan, on trace dans ce plan deux droites YAY', XAX' (fig. 16) qui font entre elles un angle connu. Un point M est déterminé lorsque l’on connaît les longueurs des parallèles MP, MQ, ' menées respectivement de ce point aux lignes fixes A Y-, AX.

Ces longueurs MP, MQ sont égales aux distances AQ , AP. Quand elles seront connues, on les portera, à partir du point A, l’une sur YAY', l’autre sur XAX'; et en menant, par les points Q , P, des parallèles QM , PM aux droites AX, .

A Y, leur point de rencontre sera le point demandé.

Toutefois, pour que les points P, Q soient déterminés , il faut que l’on donne non-seulement leurs distances au point A, mais encore que l’on fasse connaître le sens dans lequel ces distances sont comptées. On est convenu de regarder comme positives les distances prises dans le sens , . AX et dans le sens AY ; et comme négatives celles qui sont estimées en sens contraire.

Les distances telles que AP, ou son égale MQ , se nomment abscisses ; et les distances telles que AQ ou MP, s’appellent ordonnées. Ou désigne généralement les abscisses par x, et les ordonnées par j . La ligne XX', sur laquelle se comptent les abscisses, se nomme Yaxe des abscisses ou des x. La droite YY' est l’axe des ordonnées ou des y.

L’abscisse et l’ordonnée d’un point prises simultanément se nomment coordonnées de ce point.

Le point A où se coupent les deux axes, est Y origine des coordonnées.

Les abscisses et les ordonnées doivent être regardées comme des quantités variables susceptibles de recevoir toutes les valeurs possibles, positives ou négatives.

D’après les conventions précédentes, x et y sont positifs

des lieux oéométk'iqces. 4*

dans l’angle YAX [fig- 16) ; x est négatif clj' positif dans l’angle YAX'; x et y négatifs dans l’angle Y"AX'; et enlin , x est positif et j négatif dans l’angle Y'AX.

Quand on donnera les coordonnées particulières d un point, on saura donc dans lequel des quatre angles formés par les axes, le point est situé.

Si l’on a , par exemple, x — -+- 2 , y — — -3 , on pccudra dans le sens AX, la distance AP= 2, et dans le sens A Y', la longueur AQ' = 3, et en menant par les points P et Q' des parallèles respectives aux axes, le point M', auquel elles se couperont > sera le point demandé.

Pour tout point de l’axe des x , l’ordonnée est égale à zéro ; et pour tout point de l’axe des y , l’abscisse est aussi égale à zéro. Les coordonnées de l’origine sont donc toutes deux égales à zéro.

■ -■ :.r ' -r : : vr- v * ;'v-i

26. Cherchons maintenant l’expression de la distance de deux points M', M" [fi, g. 17), en fonction de leurs coordonnées.

Soient x', y' les coordonnées du point M' ; x", y", celles du point M", et 0 1 angle des axes. En menant par le point M" une parallèle à l’axe des x , jusqu’à la rencontre de l’ordonnée du point M', on forme le triangle M" DM', dans lequel le côté M" M' est la distance demandée.

Or, d’après un théorème connu, on a

M'M" = M"D 4-M'D — 2 M"D.M'D.cos.I\l'DM".

Nommons D la droite M'M"; comme les côtés M"D et-M'D ont pour -valeurs respectives [x' — x"), [y' — y")i et que l’angle M'DM" est le supplément de l’angle 0 des axes , on aura

(1) D, = (x' — x"ÿ+(jr' — yy -+- 2(ar' — x")[y' — ^'')cosO, Telle. est la formule qui donne le carré de la distance de