Reprenons l’équation générale

1 Ax’ h! y7 4- A" z’ 4- 2 B yz 4- 2 B' xz 4- 2 B" xy | 4- 2 Cx -f- 2 C'y -h 2 C" z 4- R = o,

et supposons qu’elle représente une surface dépourvue de centre, rapportée à des axes rectangulaires.

On sait que tous les plans diamétraux sont parallèles à une même droite ou sont parallèles entre eux, ce dernier cas étant compris dans le premier. Or, si l’on prend pour axe des X la direction de la droite à laquelle sont parallèles les plans diamétraux de la surface dont il s’agit, l’équation de cette surface ne contiendra ni le carré x’, ni les rectangles xy et xz. En effet, si l’on égale à zéro les dérivées du premier membre de l’équation proposée par rapport à x, y

SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 5 in

et z , ou obtiendra

( A"z+ B/ + B'jt -+- C"= o.

Ces équations devant représenter trois plans parallèles à l’axe des x, chacune d’elles ne peut renfermer que les variables y et z ; il faut alors que l’on ait

L’équation de la surface est ainsi ramenée à la forme

On peut ensuite faire disparaître le rectangle yz, en déplaçant dans leur plan les axes des y et des z , ces axes restant perpendiculaires. Après cette transformation, l’équation de la surface prend la forme

(4) A 'y’-h A"z,+ zCx -t- 2C y -+- aC"z + F. = o.

Enfin, si l’on transporte les axes parallèlement à euxmêmes en un point choisi convenablement, opération facile à exécuter, on fera disparaître à la fois les termes du premier degré en y et z, et le terme indépendant des variables. L’équation qui nous occupe prendra donc, en définitive , la forme

P'j’-A- P''z*= Qx.

Cette équation simple, dans laquelle x, y, z désignent des coordonnées rectangulaires, renferme toutes les surfaces dépourvues de centre.

380. La forme précédente n’a pas lieu seulement pour des axes rectangulaires-, elle existe aussi pour une infiuité de systèmes d’axps obliques. En effet, si l’on prend l’axe des x parallèle aux plans diamétraux, quels que soient les deux autres axes, l’équation de la surface ne renfermera

pas les termes eu x!, en xy et en xz. Comme dans le cas des coordonnées rectangulaires, on fera disparaître le rectangle y z en déplaçant convenablement dans leur plan les axes des y et des z. Enfin, on transportera les nouveaux axes parallèlement à eux-mêmes pour faire évanouir les termes du premier degré en y et s avec le terme indépendant. La proposition énoncée se trouve ainsi établie, v"

ÉQUATIONS LES PLUS SIMPLES DE L’ELLIPSOÏDE, DES HV PER— BOLOÏDES A UNE ET A DEUX NAPPES, DÉS PARABOLOÏDES ELLIPTIQUE ET HYPERBOLIQUE, DES CÔNES ET DES CYLINDRES DU SECOND DEGRÉ.

Discussion des surfaces douées d’un centre.

381 . Les surfaces de cette classe sont toutes renfermées, comme on l’a vu, dans l’équation

(i) Pæ’+ P' y' + P" z1 = U,

les coordonnées .r, y, z étant rectangulaires. Elles présentent plusieurs genres distincts que nous nous proposons d’examiner. Nous supposerons d'abord qu’aucun des quatre coefficients né soit égal .à zéro , et nous regarderons H comme positif, ce qui est permis puisqu’on peut changer les signes de tous les termes de l’équation.

Ellipsoïde. — Lorsque P, P', P" ont le même signe, la surface représentée par l’équation (t)’se nomme ellipsoïde. Si ces coefficients sont négatifs, l’équation (i) n’admettant aucune solution réelle, on dit qu’elle représente un ellipsoïde imaginaire. Supposons donc P, P', P" positifs. Pour obtenir les points où la surface rencontre les axes coordonnés, on égale à zéro deux des variables x, y, z, et l’on obtient

Posons

SURFACES DU SECOND DEGRÉ

et remplaçons dans (i) P, P', P" par leurs valeurs tirées de ces relations ; nous aurons , pour l'équation de la surface ,

Les distances OA= a, OB = b, OC = c (fig- 19°) sont les demi-axes de la surface; par conséquent , les axes sont A A'= 2 a, BB'= 2. b, CC'= ac. Les extrémités A , A', B, B', Cj’C'dc ces dernières lignes sont les sommets de l’ellipsoïde.

En faisant z =■ o dans l’équation (2), pour avoir la section de la surfaée par le plan des xy , 011 obtient