Les sections parallèles au plan XY sont délinics par
CtlAPITHK 51X1 ICM K.
1rs équations simultanées
ces courbes sont des ellipses toujours semblables, puisque les deux axes qui s’obtiennent en posant Successivement y = o, z = o, conservent entre' eux le même rapport, quel que soit h. Les dimensions de ces ellipses augmentent ’ indéfiniment avec la valeur numérique de h ; alors la plus petite est celle qui correspond à z = o : on la nomme ellipse (lu gorge ; c’est la courbe ARA' 15' .
387. 11 résulte de ce qui précède que la surface que nous considérons s’étend à l’infini, et n’est formée que d’une seule nappe continue.
388. Lorsque les deux axes réels ia et ib sont égaux, l’hyperboloïde est de révolution autour de l’axe imaginaire. En effet, les sections déterminées par des plans perpendiculaires à cet axe sont des cercles dont il contient les centres. On trouve l’équation de la méridienne dans le plan XZ en faisant y = o dans l’équation de la surface. On obtient ' l’hyperbole
389. Hy perboloïde à deux nappes. — Lorsque deux des coefficients P, P', V" sont négatifs, et que le troisième est positif, la surface représentée par l’équation (i) s’appelle hyperboloïde à deux nappes. Nous prendrons P positif, P' et P" négatifs. La surface rencoutrc les axes coordonnés aux distances
Posant
SL «FACES DI) SECOND DEG11É
I équation de la surface devient
Si l’on prend OA = OA' = a {fig. 192) sur Taxe dcs.r, OB = OB' =. b sur Taxe des y, OC = OC' = c sur Taxe des z , les points A et A' appartiendront à la surface; les droites AA', BB', CC' sont appelées les longueurs des axes de l’hyperboloïde. D’après les valeurs (a), il est évident que le premier est le seul qui rencontre la surface : il est dit Y axe réel ; les deux autres sont les axes imaginaires. La surface n’a que deux sommets, qui sont les extrémités A et A' de l’axe réel. Les plans coordonnés sont des plans principaux. Les plans XZ etXY rencontrent la surface suivant des hyperboles qu’on nomme sections principales. On aurait encore des hyperboles si les plans coupants étaient parallèles à ceux que nous venons de désigner. Pour des plans , sécants parallèles à YZ, ou perpendiculaires à l’axe réel OX, on a . ’
ces sections sont des ellipses semblables entre elles, et qui croissent indéfiniment avec la valeur absolue de h ; mais elles deviennent imaginaires quand c’est-à-dire
dans l’intervalle des deux sommets réels A etA',
390. Il résulte de là que la surface dont il s’agit est composée de deux nappes, indélinies chacune dans un sens, mais séparées par un intervalle où il n’existe aucun point de cette surface.
Quand les deux axes imaginaires 2e et 2 b sont égaux, l’hyperboloïde est de révolution autour de l’axe réel , car les sections obtenues pour des plans x~ h perpendiculaires à cet axe , sont des cercles dont il contient les centres. L’équation de la méridienne dans le plan XZ s’obtient en faisant
y — o dans l’équation de la surface; on trouve alors
c’est l’hyperboloïde (AE, A'F).
391 . Cônes du second degré. — Pour compléter la discussion des surfaces qui ont un centre unique , nous allons considérer les cas particuliers où il y a des termes nuis dans l’équation (i). Soit H = o; aucun des coefficients P, P', P" n’étant nul , l’équation (i) se réduit à
(1) Pi’ + P'/+P'z1 = o.
Si P, P', P" sont de même signe, l’équation ne peut être vérifiée par d’autres valeurs réelles que x = o* y = o, z = o; donc, dans ce cas, la surface se réduit à un point qui est l’origine des coordonnées. On a une variété de l’ellipsoïde. Si l’un des coefficients P, P', P" est de signe contraire aux deux autres, l’équation dont il s’agit représentera un cône du second degré. En effet , soient
(2) x — mz , y = nz
les équations d’une droite passant par l’origine; en éliminantx, y, z entre les équations (i) et (2), on obtient
(3) Pm!+P'n!+P" = o.
Quand cette équation est satisfaite, la droite (2) est sur la surface (1); de plus, si l’on fait varier m et n de manière que la même équation ne cesse pas d’avoir lieu, la droite (2) tournera autour de l’origine et engendrera la surface. On voit par là que 1 équation (1) représente un cône du second degré, surface que l'on doit regarder comme une variété de 1 hyperboloïdc à une nappe ou de l’hyperboloïde à deux nappes. 11 est permis de dire que c’est un hyperboloïde A une nappe dont 1 ellipse de gorge se réduit à un point, ou
SURFACES mi SECOND DEfîRÉ. 535
un hyperboloïde à deux uappes dont l’axe réel sc réduit à zéro.
S. 392. Cylindre elliptique et hyperbolique. — Supposons maintenant que l’un des coefficients, P" par exemple, soit nul dans l’équation
nous aurons alors
Par1 4- P'y1 = II.
Cette équation, ne renfermant que deux variables x et y, eprésente (322) un cylindre parallèle à l’axe des z, et dont la base est une ellipse ou une hyperbole, *Selon que P et P' sont de même signe ou de signes contraires. Si l’ellipse se réduit à un point, la surface sc réduit à l’axe des z. Dans le cas où l’hyperbole dégénère en deux droites qui se coupent, la surface est composée de deux plans qui se rencontrent.
393. Lorsqu’on a en même temps P' = o, V" = o, l’équation de la surface devient
Cette dernière représente un système de deux plans parallèles, qui se réduisent à un seul si 11 est nul. ►,
Discussion des surfaces dépourvues de centre.
394. Les surfaces dépourvues de centre sont toutes comprises, comme on l’a vu. dans l’équation
(>) ’■ ' Py4-P':’ = Q*,
x, y , z désignant des coordonnées rectangulaires, et le coefficient Q étant différent de zéro. Nous supposerons P' et V" différents de zéro. On pourra rendre P' positif, s’il ne l’est pas, en changeant les signes de tous les termes. Ensuite, on regardera Q comme positif; car s’il est négatif,
il suffira de changer le sons des .r positifs, ce qui se fait en remplaçant x par — x. Puisque P' et Q peuvent toujours être regardés comme positifs, nous n’aurons à examiner que le cas où P" est positif, et celui où il est négatif.
395. Paraboloïde elliptique. — Lorsque les trois coefficients P', P" et Q sont positifs, la surface que représente l’équation (i) est nommée paraboloïde elliptique. Cette surface ne coupe évidemment les axes qu’à l’origine des coordonnées; les plans X Y et XZ sont des plans principaux; l’axe des x est dit Yaxe du paraboloïde. Les deux paraboles AOA'., BOB' (Jig. 193), déterminées par les deux plans principaux, sont des sections principales; elles ont pour équations :
z = o et .yJ = ÿX,
r = o et s2 = ~x.
Si l’on désigne par 2 p et 2 p' les paramètres de ces paraboles, on a '
portant dans l’équation (1) les valeurs de P' et P", tirées de ces relations, elle prendra la forme
pp
Les sections parallèles au plan YZ, ou perpendiculaires à l’axe OX, sont des ellipses représentées par
(3) x = A et - — 1 — - = 2 A ;
