CilAPlaRE DEUXIÈME

deux' points en fonction de leurs coordonnées, et par suite ' >. cette distance elle-même.

. Cette formule a été obtenue en plaçant les deux points dans l’angle des coordonnées positives ; mais il est facile de reconnaître qu’elle convient à toutes les positions des points dans les quatre angles formés par les axes, en ayant égard aux signes des coordonnées. . . »

, Lorsque l’angle des axes est droit , on a cos 0 — o, et la

formule ( i ) devient

En effet, dans ce cas,, la distance D est l'hypoténuse d'un -triangle rectangle dans lequel les côtés de l’angle droit sont les différences (x' — x?.) et (y1- — y"). ’ • .

Si l’on veut avoir la distance d'un point à l'origine des coordonnées, an supposera qu’ün despoints donnés, M" par exemple, se confond avec l’origine; on aura alors x" — o, ‘ y" — 0, et les formules (i) et (2) deviendront

• (3) ' • * D3= x'1 ix' y' cos 0, •

* . t 27. Maintenant que nous savous déterminer la position d’un point, concevons qu’une ligne quelconque GH (fig- 1 B )

• . soit tracée sur un plan, et que, dans ce plan , on ait mené deux axes XAX', YAY'. 11 est aisé de voir que pour une abscisse quelconque AP, ‘ l’ordonnée PM sera déterminée, puisqu’il suffira pour Fobtcnir de mener par le point P une parallèle à l’axe des jy, jusqu’à la rencontre de la ligne GH. Ainsi, l’ordonnée et l’abscisse sont dépendantes l’une de. l’autre, ou, comme 011 l’énoucé ordinairement, l’une quelconque de cesdeux quantités est fonction de l’autre. Quand ' cette fonction est constante , c’est-à-dire lorsque La relation

entre l’abscisse et l’ordonnée ne change pas en- passant d’un point à un autre de la ligne, l’équation qui exprime celle .

DES LIEUX GEOM ÉTHIQUES. i|J

relation est ce que Descartes a nommé l 'équation de celte ligne. On entend donc par équation d'une ligne, 1 expression de la relation constante qui existe entre les coordonnées de chacun de ses points.

Pour obtenir l'équation d’une ligne, il faut connaître la définition de celle ligne, ou, ce qui revient au même, l’une quelconque des propriétés qui la caractérisent , ou bien encore son mode de génération.

28. Non-seulement une ligne peut être représentée par une équation à deux variables, mais encore une équation F (x , y) — o, entre deux variables , représente en général une ligne, lorsque les variables x, y sont considérées comme les coordonnées d’un point.

En effet, supposons. qu’on ait résolu l’équation par rapport à l’une des deux inconnues, y par exemple, et qu’on ait trouvé différentes valeurs,

Prpnons la première, y — /(x), et donnons à x différentes valeurs «, a', a", . . , etc.; on en déduira pour y des valeurs correspondantes 6, 6', 6", . . etc. Et, en prenant celles qui sont réelles, les différents systèmes

x=a, jr = €; X = a, y =

détermineront des points tels que M", etc.,

( fig ■ 18), qui joints deux à deux, formeront une ligne brisée etc. Il est- visible que si, au lieu d’as-

signer à x une suite de valeurs ayant entre elles une certaine différence, on imagine que x varie d’une manière continue, la ligne brisée deviendra une courbe dont les points auront pour coordonnées tous les systèmes de valeursqui vérifient l’équation y = f(x), en faisarjt croître x de ■* — oo à -f- oc . On en dirait autant des autres équations

y ~f (*)» y —J" My etc. •

Eu opérant de cette manière, on obtient tous les systèmes de valeurs qui peuvent vérifier 1 équation proposée F (,r)%r) = o.

Donc, une équation entre deux variables x, y représente une ligne qui est le lieu géométrique des points qui ont pour coordonnées tous les systèmes de valeurs qui peuvent satisfaire à cette équation.

Les lieux respectifs des équations partielles y =f (x), y—f{z)i etc., sont nommés les branches de la courbe représentée par l’équation F {x, y) = o.