Deux droites d’un même système ne sont pas dans
un même plan. — Prenons les équations
-L= 4- —r= — 27*, fiz = -,
fi fi' fi fi' 1
qui sont celles d’une droite du système (2). On sait (n" 348) que l’équation générale des plans qui passent par cette droite est
fit-2’’*
fi
fi ï '
L’élimination de y et de z entre cette équation et les équations
fi
V>' fi fiî 7
d’une seconde droite appartenant au système (2), conduit à 2X (7-7) (7-^ =°-
Il faut, pour que la droite soit tout entière dans le plan, que celte dernière équation ait lieu, indépendamment de toute valeur donnée à r; ce qui entraîne l égalité y' y. Donc deux droites du système (2) 11e peuvent pas être dans un même plan. ,
Ou prouverait'semblablement que deux droites du système (3) ue sont jamais dans un même plan, et qff alors elles ne peuvent jamais se couper.
Deux droites de systèmes différents sont toujours dans un même plan. — Soient les deux droites
\lp \fF * \'p vV i
y s £ f af
fp f?~ ’ fp f?~ s'
Les plans qui passent par la droite (2) sont représentés par l’équation
L’élimination de y et de z entre cette équation et celles de la droite (3) donne
Cette équation est vérifiée, quel que soit x, en prenant k — yd; par conséquent, les droites dont il s’agit sont dans un même plan.
413. Par chaque point du paraboloide , on peut tracer une droite du système (2 ) et une droite du système (3). — En effet, si l’on désigne par x1, y\ z' les coordonnées d’un point quelconque de la surface, on obtiendra
on pourra donc déterminer une valeur de y et une valeur de d, telles que l’on ait
ip+7F=*'1*’
fp
S fp'
4 + -7= =»• fp
fp
Digitizec) by Godgle
SURFACES DU SECOND DEGRÉ. 5Î>9
Les paramètres y et â pouvant être ainsi calculés, les équations
VP VP -
fp y/F 7
yfp FF S
ÜH
seront celles de deux droites tracées sur la surface, et passant par le point quelconque ( x y', z').
4U. D’après ce qui précède, les droites que l’on peut tracer sur le paraboloïde
forment deux systèmes. Or, si l’on examine les secondes équations du premier, on reconnaît immédiatement que les plans projetant sur le plan des yz sont tous parallèles entre eux; par suite, que les droites dans l’espace se trouvent toutes parallèles à l’un de ces plans : donc clics sont parallèles au plan
On démontrerait de la même manière que les droites du second système sont toutes parallèles au plan „
fp
Maintenant, supposons que A , A', A" soient trois droites appartenant au même système ; elles seront rencontrées par toutes celles de l’autre système. Or, le mouvement d’une droite étant complètement déterminé par la condition de s'appuyer sur trois droites fixes , il en résulte que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan.
Ainsi envisagée, celle surface devient un cas particulier de 1 hyperboloïde à une nappe.
Quand on considère seulement deux droites A et A' appartenant au même système, les droites du second système qui les rencontrent toutes deux sont, en outre, parallèles à un plan fixe. Or le mouvement d’une droite est complètement réglé par la double condition pour cette droite de couper deux droites fixes et de rester parallèle à un plan fixe : car si l'on coupe les deux lignes par une suite de plans parallèles au précédent, et si l’on joint par des droites les points de section dé chaque plan , on obtiendra autant de positions de la génératrice. On conclut de ce qui précède que le paraboloïdc hyperbolique peut être engendré par une droite qui glisse sur deux droites fixes, et qui reste parallèle à un plan fixe.
On donne au plan fixe le nom de plan directeur j les droites fixes sont appelées directrices , et les droites mobiles génératrices. De là vient qu’on emploie l’expression génératrices rectilignes , pour désigner les .droites qui peuvent être tracées sur la surface dn paraboloïde hyperbolique. On les nomme encore sections rectilignes , par la raison que deux droites appartenant à deux systèmes différents représentent la section du paraboloïdc par un plan.
415. Démontrons les réciproques des propositions qui viennent d’être établies.
Lorsqu’une droite glisse sur trois droites fixes parallèles à un meme plan , elle engendre un paraboloïde hyperbolique.
Prenons le plan XY (fig. 198) parallèle aux trois directrices A, A', A ', et la première de ces droites ponr l’axe OX ; dirigeons l’axe OY parallèlement à A', et enfin par le point arbitraire O, ôù se coupent ces axes, traçons-en un troisième OZ qui rencontre à la fois les trois directrices : dans ce cas ,
SURFACES DU SECO» O DEGRÉ
ces lignes auront pour équations
A ou OX
La génératrice sera représentée par
i=rai + /), y=±nz-\-q-.
mais pour qu’elle rencontre les trois directrices, il faut avoir les conditions
<7 = 0, ///A —J—-/» — o , a (ni A />) = «A -+• q.
On voit aisément qu’on obtiendra l’équation de la surface cherchée , en éliminant m , n , p , q entre ces équations et celles de la génératrice. Le calcul donne
kyz -+- a (A ; — A) xz — hky = o.
Dans cette équation du second degré, le polynôme D
(n°371) qui sert de dénominateur aux coordonnées du centre , se trouve évidemment mil 5 alors la surface ne peut être qu’un des deux paraboloïdes ou bien un cylindre. Or, le cylindre ayant ses génératrices parallèles , et aucune droite ' ne pouvant être tracée sur un paraboloïde elliptique , il en résulte que la surface engendrée est un paraboloïde hyperbolique.
410. Lorsqu une droite g/isse sur deux droites fixes et • . reste parallèle à un plan- fixe, elle engendre un parabo- * ' loïde hyperbolique. ‘ '.
Soient A et A' (Jig. 199) les deux directrices, et YOX le plan directeur. Désignons par O et D les points de rencontre de ce plan avec les lignes A et A' ; menons par ces points la droite OY ; conduisons par OZ ou A un plan parallèle à A', lequel coupe le plan YOX suivant la droite OX ; enfin, prenons OX, OY, OZ pour axes des coordonnées.
La directrice A' rencontrant l’axe OY et étant’ parallèle au plan XOZ, ses équations seroni • y = A , 0 . = a je .
56a CHAPITRE SIXIÈME. SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
Comme la génératrice rencontre toujours l’axe des z , et qu’elle reste parallèle au plan XY, elle sera représentée par des équations de la forme
x =3 mjr, z — k.
Cette ligne rencontrant aussi la droite A', on a la condition
/■ = nui h.
L’élimination de rn et de h entre cette équation et celles de la directrice donne
yz «= ahx.
Cette équation est celle d’une surface du second degré dépourvue de centre; elle représente un paraboloïde hyperbolique, puisque l’autre paraboloïde n’a pas de génératrice rectiligne.
CHAH, SEPT. — ÉQUAT. DU SECOND DEGRÉ, ClC. » 563
DE LA DISCUSSION D’UNE ÉQUATION NUMÉRIQUE DU . SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES.
Al 7. Étant donnée une équation
du second degré à trois variables et à coefficients numériques , reconnaître de quelle nature est la surface que cette équatioir représente : telle est la question que nous allons traiter. ' ‘ . • -( - • • ’ .
Il faut d’abord chercher si la surface a un centre unique, ou si elle en admet une infinité, ou bien, enfin, si elle est dépourvue de centre. A cet effet, on égale à zéro les trois dérivées. du premier membre J (x, j, s) de 1 équation proposée; il on résulte trois équations
°* ArŸ
du premier degré à coefficients numériques , dont la résolution fera savoir lequel des trois cas a lieu.
§ I. — Surfaces qui ont un centre unique.
418. Supposons que la surface ait un centre unique, et commençons par l’examen du cas particulier où l’équation ' que l’on donne ne renferme le carré d'aucune des trois coordonnées X , y, z ; elle est alors de la forme
• ( 2 : a B* X3 -+- 2 B" xy
i+2Cï + 2C7+2C"î+E = 0,
et représente évidemment Une surface illimitée, puisqu’on peutdotmer à deux des trois coordonnées des valeurs aussi
- Dii
grandes que L’on voudra, sans que la valeur delà troisième variable cesse d’être réelle. Et comme cette surface a un* centre, elle ne peut être que l’un des deux hyperboloïdcs ou un cène.
En transportant les axes parallèlement à eux-mêmes au centre, l’équation proposée deviendra
(2) a Bys -f 2 B' u + 2 B" 1/ + E' = o.
Si F/ est nul , la surface est un cône (n° 402).
Si E' est différent de zéro, la surface sera un hyperbo- • loïde à une ou à deux nappes , dout le cône asymptote, représenté par
2 B yz -4- 2 B' xz -f- 2 B" xy — o ( n° ^02 ) ,
a pour génératrices rectilignes les axes des coordonnées.
419. Pour décider quel est celui des deux hyperboloïdes que l'équation {2) représente quand F/ n’est pas nul, on observera que les génératrices rectilignes.de l’hyperbeloïde à une nappe étant parallèles à celles du cône asymptote (n° 408), il faudra, pour, que la surface considérée soit un hyperboloïdc à une nappe, que l’on puisse placer sur cette surface une droite parallèle à l’un des trois axes de coordonnées, par exemple à celui des'z. Celle condition est d’ailleurs suffisante, puisque l’autre hyperboloïdc ,n’a pas de génératrice rectiligne.
Or, une parallèle à l’axe des z ayant pour équations
il faudra , pour que cette droite appartienne à la surface
2 B yz -(- 2 B' xz -4- 2 B" xr -4- E' = o , que cette dernière équation soit vérifiée par
quelle que soit la valeur attribuée à z , ce qui donne (3) 2 B6 + 2 B'a = o,
d’où •
a = ± y/îüTpX^^B^BB'I»?'
On voit que a sera réel ou imaginaire, suivant que BBB" et E' auront le même signe ou des signes contraires. 11 sera donc nécessaire , pour que <x soit réel , que le nombre des coefficients B, B', B", de même signe que E', soit impair. Dans ce cas, l’équation proposée représentera un hyperboloïde à une nappe. Si le nombre des coefficients B, B', B", de même signe que E', est pair, a sera imaginaire, et l’équation appartiendra à un hyperboloïde à deux nappes.
Aucun des trois coefficients B , B', B", ne peut être nul, quand l’équation (2) représente une surface qui a un centre unique. Car, si l'on avait, par exemple, B" = o, l’équation (2) se réduirait à
2 B yz -f- 2 B'xz -f- E' = o ,
et la surface aurait une infinité de centres situés sur la droite
Bj+ 8^ = 0, z — o ; elle serait un cylindre hyperbolique.
Remarquons, en terminant cette discussion, que l’on peut, sans transporter les axes au centre de la surface, reconnaître si l’équation (1) appartient à un hyperboloïde à une nappe ou à un hyperboloïde à deux nappes. En effet, il résulte de ce qui précède que, dans le premier cas, la surface doit avoir une génératrice rectiligne parallèle à l’axe des z; ce qui exige que l’équation {1) soit vérifiée, indé-r pendamment de toute valeur attribuée àz, lorsqu’on y remplacera y et x par £ et a. On aura donc
BS + B'a-4-C"= o,
2 B" aÇ 2 C a 2 C' (j + E = O.
566 chapitre septième.
Lorsque les équations (5) admettront une solution réelle et finie, la surface sera du genre des hyperboloïdes à une nappe ; elle pourra , d'ailleurs , se réduire à un cône.
Si les équations (5) n’admettent aucune solution réelle et finie, la surface considérée est un hyperboloïde à deux nappes.
Dans le premier cas, il restera à examiner si la surface est ou non un cône. Pour le savoir, on remplacera x, y, z par les coordonnées du centre dans l’équation ( t) ; le premier membre prendra une valeur que nous avons déjà désignée par E', et suivant que E' sera nul ou différent de zéro, la surface sera un cône ou un hyperboloïde à une nappe.
420. Actuellement , supposons que f équation proposée renferme les carrés des coordonnées, ou du moins le carré de l’iuie d’elles , de z par exemple.
En transportant les axes des coordonnées parallèlement à eux-mèmes au centre de la surface, l’équation prendra la forme
| A x’ -I- A' y* -H A" z1 -+- 2 B yz ■+ 2 B' xz 11 I 2 B" xr -4- E' = o,
et le coefficient A" de s* ne sera pas nul.
En résolvant l’équation (i) par rapport à z, il vient
I B>-+-B'ïr
I ± — „v^( B* — A A»}/* ■+■ (B” — AA») a •-+- Î( BU'— A» B") xy — A»E'. i A
Lorsque des valeurs 6, a, attribuées à y , x , rendront positive la quantité soumise au radical, l’équation (2) déterminera pour z deux valeurs réelles correspondantes, et on aura ainsi deux points de la surface situés sur une corde parallèle à l’axe des z,qui sera divisée en deux parties égales
par le plan dont l’équation est
Br+B'/
Lu point du plan des xy , qui a pour coordonnées S, a, sera donc la pïojection de deux points de la surface situés sur la droite projetante y — 6, x = «.
Si les valeurs o, «, données à y , x, annulent la quantité placée sous le radical, l’équation (2) déterminera pour z
une seule valeur correspondante, — — • Les deux
points d’intersection de la surface et de la ligne projetante y = c, x = a, se réduisent alors à un seul point situé sur le plan diamétral
aT-'
et la droite y — 6, x = « devient tangente à la surface au point dont les coordonnées sont
. > BS 4- B' a
D’après cela, on voit que l’équation
j (B* — A' A") y’ 4- (B'! — AA") x‘
| + 2(BB'— A"B*)*r — A"E'=o,
obtenue en égalant le radical à zéro, représente un cylindre tangent à la surface considérée suivant une ligne située dans le plan diamétral •
Bjr -t- B' a;
et dont la projection sur le plan des xy est déterminée par la même équation (3). Il est clair que cette conclusion suppose que l’équation dont il s’agit représente une courbe réelle.
O11 sait , d’ailleurs , qu’une courbe du second degré est de
568 chapithe septième.
même espèce que sa projection (n° 399) 5 donc l’ intersection du plan diamétral
Iî T -+- B’x
cl de la surface considérée sera une ellipse ou une hyperbole, suivant que l’équation (3) appartiendra à l’une ou à l’autre de ces deux courbes.
Lorsque les valeurs ë, « de y , x, rendent négative la quantité placéfe sous le radical, z est imaginaire, et la droite y — ë, x = a 11e rencontre plus la surface; alors le point du plan des xy, qui a S, « pour coordonnées, n’est la projection d’aucun point de la surface, en prenant pour • ligues projetantes des parallèles à l’axe des z.
421 . La courbe déterminée par l’équation (3) sépare la partie du plan des x y, sur laquelle se projette la surface considérée de celle qui ue reçoit la projection d’aucun point de celte surface. C’est ce qui résulte de la proposition suivante:
‘ Soit f(x, y) = o l’équation d’une courbe du second degré; si l'on remplace successivement les variables x, y par les coordonnées a , 6; a', ë', de deux points, l’un intérieur, l’autre extérieur à la courbe, le premier membre . f(x,y) de l’équation prendra des valeurs y (a, 6),
'f[ ë'), de signes contraires ; et, lorsque les deux points seront l’un et l’autre intérieurs ou extérieurs , les valeurs de f(a, £),/(»', 6') auront le même signe.
En effet , désignons par
y “ ax b
l’équation de la droite qui unit les deux points donnés; les abscisses des points cOmrfiuns à cette droite et à la courbe seront déterminées par l’équation
•’ . f{ it, ax -H b ) = o .
Gopgle
ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES. 56g
Lorsque les deux points sont, l’un intérieur, l’autre extérieur à la courbe, l’équation f(rf, ax -+- b) = o a nécessairement une racine comprise entre a et a'; donc, f(<x, a» ■+• b), /(*', «*'+ f>) ont des signes contraires. Si les points sont tous deux intérieurs ou extérieurs, l’équation J (x, ax b) == o n’a aucune racine comprise entre a et a', ou elle en a deux: par conséquent, f (a, a a b), J (a', oa'+ b) ont le même signe. Mais
/(a, aa. ■+■ b) =/(a, 6) et /(«'., ««'+ 4) =/[a', 6'); '
la proposition est donc démontrée.
De cette proposition nous concluons que si les coordonnées d’un point intérieur à la courbe représentée par l’équation (3) rendent positive la quantité placée sous le radical de l’équation (2) (u° 420), il en sera demème pour tous les autres points intérieurs, et alors les cçoi données de tout point extérieur feront prendre le signe moins à cette quantité, ou inversement. Par conséquent, la courbe dont il s’agit, sépare la partie du plan des xy, qui est recouverte par la projection de la surface , de ccllequi ne reçoit lajprojection d’aucun de ses points.
422. Au moyen des considérations qui précèdent , il sera facile de reconnaître de quelle nature est la surface que l’équation (a) détermine.
Plusieurs cas sout à distinguer: l’équation (3) peut représenter une ellipse, une hyperbole, deux droites qui se coupent à l’origine des coordonnées, un point coïncidant avec l’origine, une ligue imaginaire. ÎVous allons successivement examiner ces différentes hypothèses.
t°. Lorsque l’équation (3) est celle d’une ellipse, la surface étant coupée suivant une ellipse par un plan
cc ^
z = — ; qui passe par son centre (page 568) ne
peut être ni un hyperboloidc à deux nappes, ni un cône;
5j<* chapitre septième. -*
-clic sera donc un ellipsoïde, ou un hyperboloïde à une nappe. Pour reconnaître lequel de ces deux cas a lieu, il suffit de savoir si la surface que l’on considère est ou non . limitée. ,
A cet effet, on remplacera x et y, sous le radical de l’équation (2), par les coordonnées du centre de l’ellipse (3). Si les valeurs de z sont réelles, ou en peut conclure que la surface est limitée; car, pour les coordonnées de tout point extérieur à l’ellipse, le radical deviendra imaginaire; par conséquent, les valeurs de x,y, et par suite, celles de z, sont limitées.
Le contraire aura lieu lorsque les valeurs de z correspondantes aux coordonnées du centre seront imaginaires.
Le centre de l’ellipse coïncidant avec l’origine , ses coordonnées sont nulles; le radical se réduit donc à \j — A"E' par la substitution dont il s’agit : par conséquent, la surface sera un ellipsoïde, ou un hyperboloïde à une nappe, suivant que le coefficient A" de z*, et le terme E' indépendant des variables, auront des signes contraires ou le même signe. a°. Supposonsque l’équation (3) représente une hyperbole.
Le plan z = — - — — » mené par le centre de la surface,
la coupera suivant une hyperbole; donc, la surface ne peut être que l’un des byperholoïdes. Pour distinguer entre les deux byperholoïdes celui que l’équation (2) représente, 011 remplacera dans cette équation, les variables x, y, par les coordonnées du centre de l’hyperbole (3).
Si les valeurs correspondantes de z sont réelles , il en faut conclure que la surface couvre de sa projection toute la partie du plan des xy , comprise entre les deux branches de l’hyperbole, du côté du centre de cette courbe: la forme même de ceUeqnojection montre que la surface projetée n’a qu'une seule nappe continue: elle est donc un hyperboloïde à une nappe. ' i ' •
Si les valeurs de z sont imaginaires , la surface se projette entièrement dans l’intérieur de l’hyperbole, du côté opposé au centre : la portion du plan des x y, recouverte de la projection , se subdivise alors en deux parties séparées l’une de l’autre par l’intervalle des deux branches de la courbe; ce qui montre que la surface projetée se compose elle-même de deux parties séparées dans l’espace; elle est, par conséquent, un hyperboloïde à deux nappes.
Les coordonnées du centre de l’hyperbole étant milles , les valeurs de z , correspondantes à ces coordonnées, sont
Ainsi , la surface considérée sera un hyperboloïde à une ou à deux nappes, suivant que les coefficients Aff, E' auront des signes contraires ou le même signe.
3°. L’équation (3) représente deux droites qui se rencontrent à l’origine. Alors, la surface est nécessairement un
cône, puisque le plan z = ^ la coupe suivant.
deux droites qui passent par son centre.
4°. Si l’équation (3) est vérifiée par les coordonnées de l’origine, et seulement pàr ces coordonnées, la quantité placée sous le radical de l’équation (2) conservera le même signe pour toutes les valeurs de x et dc^y; elle sera composée de deux carrés, précédés chacun du signe plus ou du signe moins : il suffira de donner à x cl y des valeurs quelconques, pour distinguer ces deux cas l’un de l’autre. Dans le premier, la valeur de z, constamment réelle, se réduit à zéro avec x et y. On a donc une surface illimitée sur laquelle se trouve le centre même de la surface ; c'est dire que la surface est un cône.
Dans le second, l’équation (2) n’admettant que la seule solution X = o, y~ o, z = o, représente l’origine, des coordonnées:
x)l <• CHAPITRE SEPTIÈME.
5°. Enfin, quand l’équation (3) u’a aucune solution réelle, la quantité soumise au radical ne peut changer de signe: si elle est négative, l’équation (2) ne représente rien; si, au contraire, cette quantité est positive, l’équation (2} appartiendra à un liypcrboloïde à deux nappes , puisque la surface qu’elle détermine n’a aucun point commun avec un
p)anjr= — ■ — mene par son centre'.
123. Remarque. — Si l’on transporte les axes des coordonnées parallèlement à eux-mêmes en un point quelconque de l’espace , le plan des xy restera parallèle à sa première position, les lignes projetantes des différents points de la surface ne changeront pas, de sorte que les projections sur les plans des xy seront les mêmes. Le centre dé la surface et celui de la courbe obtenue en projection , sur le plan des xy , appartiendront à une droite parallèle à l’axe des z ; ces deux points auront donc les deux coordonnées x , y, communes. Par conséquent, la discussion précédente sera ’ encore applicable, avec cette seule modification , qu’au lieu de remplacer x, y par zéro , sous le radical de la valeur de z, on substituera à x, y, les valeurs st, 6, obtenues pour les coordonnées x,y du centre de la surface.
Ainsi, pour discuter l’équation proposée, il n’est pas indispensable de transporter l’origine au centre de la surface; on pourra résoudre cette équation par rapport à z (en supposant que le carré de z entre dans l’équation); il en résultera une expression de la forme
(1) î = /)i.r + /iy + />± \jay- + bxy 4- ex* + rfr+M+y;
puis, on égalera à zéro la quantité soumise au radical, ce qui donnera l’équation
( 2 ) nÿ* -H bxy 4- çx' 4- dy 4- ex -f- f— o.
Lorsque cette dernière équation représentera une ellipse,
la surface sera un ellipsoïde ou un hyperboloïde , à une nappe , suivant (|ue la valeur de z correspondante à x = % , y — G , sera réelle ou imaginaire.
Si l'équation (2) appartient «à une hyperbole, la surface sera un hyperboloïde à une ou à deux nappes, suivant que ,
X — « , y = 6 rendront z réelle ou imaginaire.
Il se peut que l’équation (2) représente deux droites concourantes au point x = a, y = ê*, dans ce cas, l’équation proposée appartiendra à un cône.
Si l’équation (2) n’admet que la seule solution réelle ,r = y =-6, l’équation (1) représentera un cône, ou le point x=a>y=G,z — rna. nG -+- p, suivant que, en remplaçant x, y par des valeurs a', S', autres que », G, la valeur correspondante de z sera réelle ou imaginaire.
Quand l’équation (2) n’admet aucune solution réelle, l’équation (1) représente un hyperboloïde à deux nappes ou une surface imaginaire, suivant que la valeur de z est réelle ou imaginaire pour des valeurs quelconques attribuées aux deux autres coordonnées.
. Au reste, il Sera généralement plus simple de rapporter la surface à son centre, en faisant disparaître les termes du premier degré.
§ II. — Surfaces qui ont une infinité de centres.
■124. Nous supposons que les trois équations obtenues . en égalant à zéro les dérivées /j^j, J '.-, du premier membre y (xr y, z ,) de l’équation proposée, admettent un nombre infini de solutions communes; alors les trois plans diamétraux = o, = o, jf^, = o coïncident, où deux d’entre eux se coupent suivant une droite qui appartient au troisième. La résolution des équations numériques du premier degré o, o, o fera distinguer
facilement tes deux ras l’un de l’autre.
