Considérons encore l’équation
(i) 2x’ 4- y1-^- z-— ixz -t- îî/ — 2 y — 2 z -y f — o.
Ses trois dérivées sont
la troisième se trouve en retranchant la seconde de la première; et comme, d’ailleurs, les deux premières représentent deux plans qui se coupent, il en faut conclure que les trois plans diamétraux se rencontrent suivant une même droite.
L’intersection de la surface et du plan des xy est déterminée par l’équation
2 3:’ + /’+ 2 ry — 2jr -t- / = o,
qui revient à
Celte dernière équation donne une ellipse, un point ou une ligne imaginaire, selon que J — i est négatif, nul ou positif; par conséquent, dans ces trois cas différents, l’équation (i) représente un cylindre elliptique, une droite ou une surface imaginaire..
§ III. — - Surfaces dépourvues de centre.
429. Quand les trois équations qu’on obtient en égalant à zéro les dérivées du premier membre de l’équation pro-
5j8 chapitre septième.
posée n admettent aucune solution commune, la surface n’a pas de centre, et, par conséquent, elle est un des deux paraboloïdes ou un cylindre .parabolique.
Pour savoir auquel de ces trois genres elle appartient, il suffira de déterminer ses sections par des plans parallèles aux trois plans des coordonnées. En effet, ces trois plans ne pouvant être parallèles à une même droite, il faudra, si la surface est un paraboloïde elliptique, que l’une des sections soit une ellipse; cette condition est d’ailleurs suffisante, puisque le paraboloïde elliptique est la seule surface dépourvue de centre qui puisse donner lieu à une section elliptique.
De même, la coudilion nécessaire et suffisante pour que la surface soit un paraboloïde hyperbolique consiste en ce que 1 une des trois sections doit être une hyperbole.
Enfin , si la surface est un cylindre parabolique , les sections seront nécessairement des paraboles ou des droites parallèles.
§ IV. — A PPLICATION A DES EXEMPLES NUMÉRIQUES, Exemples dans Icsr/uels la surface a un centre.
1Ü0. Premier exemple.
xy -h xz -+- yz — ix — y — 3 z -V- i == o.
Coordonnées du centre :
En prenant le centre pour origine, 1 équation proposée se réduit à
xy H- xz 4- yz — i = o.
Cette dernière équation représente un hyperboloïde -à deux nappes, puisque le nombre des coefficients de signes contraires au dernier terme est impair (n° it9).
Deuxième exemple.
7.xy— xz 4-jr*— 2 x 4- 2j — 3z — a = o„ Coordonnées du centre :
En transportant les axes au centre, l'équation devient
2 XJ — XZ + JZ — -J- = O 5
et comme le nombre des coefficients de signes contraires au dernier terme est pair, elle représente un hyperboloide à une nappe (n° 419).
Troisième exemple.
8 xj — i6xz -+- 8jz — 8x + 8j — i6z — 7=0.
Coordonnées du centre :
En faisant disparaître le.s termes du premier degré, il vient
8xj — 16 xz -t- 8jz = o ; ce qui est l’équation d’un cône.
Quatrième exemple.
xJ -H 2 j3 -t- 2 z5 -t- 2 xj 2 X — 4j~4* -4-2 = 0.
Coordonnées du centre r
En plaçant l’origine au centre, on a
X'+Îj’+Îlî + Î XJ 2 = 0,
d’où ’ • j
Z = ± y/ -T- jx3 — y — Xjr -f- 1 •
L’équation qu’on obtient en égalant à zéro la quantité soumise au radical appartient évidemment à une ellipse^ d’ailleurs z est réelle pour x = o, y — o; donc l’équation proposée représente un ellipsoïde.
Cinquième exemple.
X 7 ■+■ iy 7 4- 2 Z3 4- 2xy — 21 — 4/^4* + 4= O. Le centre a pour coordonnées
eu y transportant les axes, il vient
x 3 -+- 2^3 4- 2 z1 4- 2xy ~ o
L'équation
donne
- t *’ + >’ 4- xy = o • » '
et n'admet que la solution .: » >
Tout autre système «le valeurs attribuées à x et y rend positif le trinôme ^x*4- J*H- xy, et, par suite, z imaginaire.
Donc l’équation proposée représente le centre
** Sixième exemple.
x ■’ 4- 2jr’ 4- 2 z3 4- 2 xy — 2 .r — ^y — 4 2 ■+■ 6 = o.
En faisaut disparaître, les termes du premier degré , on a x1 4- 2 y7 4- 2 z3 4- -2 xy + 2 = 0,
d’où
L’équation
y — *rr — 2-
donne
— jX -~ y7 — xy — 2 = 0
\jr
ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES. o8 i
et ri’ admet aucune solution. L’expression
— — y1 — xy 2
reste négative pour toutes les valeurs réelles de x et de y ; par suite, z est constamment imaginaire; donc l’équation proposée ne représente rien.
Septième exemple.
X? 4 — 2 Z1 — 4 yz 4-2-r/ — 4'T-t-I23 — l4 = 0.
Le centre a pour coordonnées
En prenant ce point pour origine, l'équation devient
x1 + 3 y1 — ?.s! — + 2xy — 4= °»
et donne
z — — \ji X7 + 10/ -4- 4*7 — S-
En égalant à zéro ,1a quantité soumise au radical) on a l’équation
2 x1 -4- i oy2 4- 4 xy — 8 == °
r = -î±ïv/-
qui appartient évidemment à une ellipse. D’ailleurs, la valeur de z devient imaginaire lorsqu’on remplace x , y par zéro; donc la surface est un hypcrboloïde à une nappe (n° 422). .*
Huitième exemple.
x7 4- 3 y1 — 2 z1 — l\yz -y ixy — 4 x + 1 2 z — i o- — o.
Les coordonnées x, y, z du centre sont i , i, 2. L’équation de la surface rapportée au centre est
ou
x’ -t- 3y 1 — a z’ — 4/z -f- 2 xy = o z = — yùl \ ^ i X7 y- 1 oy* -4- (\xy-
58a - . . chapitre septième- •
Le radical égalé à zéro donne
1 oy1 + 2 x1 4 -ry ~ o ou
Cette dernière équation n’admet que la solution x = o, y = o;
mais tout autre système de valeurs attribuées à .r, y rend positive la quantité soumise au radical, et, par suite, la valeur de z est constamment réelle; il en résulte (n° 422) que la surface considérée est un côue.
Neuvième, exemple.
X1 + y t -f- •*» 2 yz 4- 4*y + 4x4- 4r— 43 4-3 = 0.
Coordonnées du centre :
Équation rapportée au centre :
x* 4- 3 ’4- z ' — 27Z4- \xy — 1=0; - V
d’où
z=y± \f—x‘ — i xy -h 1 ■
En égalant à zéro la quantité placée sous le radical ( ou obtient l’équation
x‘ 4 xy 4- 1. — o ,
qui appartient à une hyperbole; de plus , la valeur de z est réelle pour x = o, y — o ; donc la surface est un hyperboloïde à une nappe. ^ .
Dixième exemple.
x>4 4- i‘ zyz 4. 4 xy -p 4 j, 4r ^ J 4 5 = o.
L’équation de la surface rapportée au centre
devient
et donné
z—y±tj—x7 — 4 ^7 — 1 •
En égalant le radical à zéro, on trouve l’équation d’une hyperbole
x 3 -t- 4-rj + >= <>;
d’ailleurs, la valeur de z est imaginaire pour x = o, y— o;
donc la surface est un hyperboloïde a deux nappes.
Onzième exemple.
x3 4- y7 4- *’ — ■zyz -t- + 4 ^ -t- 4 J — 4 3 + 4 = °-
Eu transportant les axes au centre
on a
d’où ' ;
zz=y±\j — x 3 — 4 xy—y'àz^ — j,- (.r 4- 4> )• *■
L’équation ' ■ •
obtenue en égalant à zéro le radical , représente deux droites qui se coupent; par conséquent (n° 423), la surface est un cône.
Exemples dans lesquels il y a une infinité de centres.
