Premier exemple
. , x1 4- 4/3 4- 9 a3 4- 1 2 yz 4- 6 xz 4- 4 xy 4- 2 x
Les trois équations dérivées qui déterminent les coordonnées du centre se réduisent à une seule, qui est
Cette dernière équation représente un plan dont tous les points peuvent être pris pour centres.
L’intersection de la surface et du plan des xj' est déterminée par l’équation
•rj4- 4rr-i- 4^/ + a.B 4/ — 4 = °, r
qui donne les deux parallèles , .
Donc la surface est formée de deux plans parallèles (n" 425) . Deuxième exemple. -
x3 -4- j3 -f z1 — lyz + 2i3 — 2 xy. -t- x — y 4- z 4- i = o. Les trois équations dérivées se réduisent à 2x -t- Z z — -2 y -t- i = o ;
de plus, en supposant z = o, l’équation proposée devient x3 -H y* — 2 xy -4“ x ' — y -f- i — o ,
et donne
par conséquent, la surface est imaginaire (n” 425). Troisième exemple.
2 x3 -4- 8 y3 -4- 2 z1 — 8 jz — ?• 4 xz -t- 8 xy -4- x 4-2/-J+7=0.
Les trois équations dérivées se réduisent à 4 x — 42 4- 8/ -t-i^o.
L’intersection de la surface et du plan des xy est déterminée par l’équation
2x’4 8j3 4- 8x/ 4- x 2/ 4- 4 — qu> t» ,►» deux droites coïncidant avec
ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIAULES. 585 Il s’ensuit que la surface considérée est le plan 4 -r — 4 z + 8/ -+- 1 = o ( n" 428 ), qui contient tous les centres.
Quatrième exemple.
2f+ 3/1 -+- i8z’ -f- i4/z + 8az + 2xy + 8x
En égalant à zéto les trois
dérivées, on a
VT
Vj-
nz h- 3 jr
CO
Si on additionne l’équation (i) avec le double de (a), ou obtient l’équation (3); par conséquent, la surface a une infinité de centres situés sur la droite intersection des plans (i)et(a).
En coupant la surface par le plan des xy, on trouve l’ellipse
donc l’équation proposée représente un cylindre elliptique. •m Cinquième exemple.
•r? •+■ 3 y’ — 2 yi — 2 .rz + 4 + 2zr4- 4 ï — 2 î + 1 = O
Les trois équations du centre sont
et comme la troisième s’obtient en retranchant la première de la seconde, on voit que la surface a une infinité de centres en ligne droite.
L’intersection de la surface et du plan >*tot*fcype> bole
• x' + 3jr’ + ^xy + ix + 2 = o;
doue l’équation proposée appartient à un cylindre hyperbol i que.
Sixième exemple.
x7 -f- y7 -t- 6 z7 4- 6 yz 6 xz 4- 4 xy
Les équations du centre sont :
la troisième résultant de l’addition des deux autres, tous les points de la droite représentée par les deux premières sont des centres.
L’intersection de la surface et du plan des xy est donnée par l’équation
ou
Cette équation représentant le système de deux droites concourantes, l’équation proposée donne deux plans qui .y coupent suivant la droite des centres.
Septième exemple.
x 7 4- 2 y7 4- 5 z7 -I- 6/3 4- 4 xz 4- 2 xy 4“ 2 x 4- 2. y 4- 4 4- 1 = o.
On a , pour les équations du centre :
la troisième est la somme des deux précédentes ; donc tous les points de la droite que les deux premières représentent sont des centres.
Pour z = o, l’équation proposée devient
x1 4- 2 y* •+- ixy ■+■ ax 4- 2/^+ i = o, ou
y = — t (*-+-») ± I si— {* + »)’•
Cette dernière n’admettant que la solution x = — i, r = o,
il eu résulte que le lieu géométrique déterminé par l’équation proposée est la droite des centres.
Huitième exemple.
x] + y* 4- 5 z1 — 4yz 4— 2 xz -f- 7 y — 4 z + 1 — °- Les équations dérivées sont
On obtient la troisième en retranchant de la première le double de la seconde; d’où il suit que les deux premières représentent une droite dont tous les points peuvent être pris pour centres.
En faisant z = o dans l’équation donnée, il vient z’4-;'’+2/ + i = o ou z’+^+i^o.
Cette dernière équation n’admettant aucune solution réelle, l’équation représente une surface imaginaire.
Exemples clans lesquels la surface n'a pas centre.
