Premier exemple

x’ 4- y* 4- z4' — 2 yz 4- axz — 2 xy 4- x — y 4- 2 z 4- 1 = 0.

Les équations dérivées f{x) = o,/('r) = o, /' = o, sont ici :

et il est évident qu’elles n’admettent aucune solution commune , donc la surface n’a pas de centre.

Si l’on coupe la surface par un plan z — y, parallèle au plan des xy, les équations de la section seront

y' — y( 274-2*4- 1) 4- x’ 4- 27-* 4- x 4- 7* 4- 27 + 1 = 0, Cette dernière donne

et sous cette forme on reconnaît qu’elle représente deux parallèles, lorsqu’on a — 4? — 3>o.

Par conséquent, la surface est un cylindre parabolique

Deuxième exemple.

xt | 3 y' — 7. y z — 2 xz 4- 4 4-2X4- 4 y — * 4- 2 = o.

On a , pour équations du centre :

Si de l’équation (2) on retranche la somme des deux autres, on trouve j = o; donc ces équations n admettent aucune solution commune, c’est-à-dire que la surface considérée n’a aucun centre.

En coupant cette surface par le plan des xy , on a 1 hyperbole

|. 3 y' 4- 4 xy 4- 2 x + 4/ -+- 2 = o ;

il en faut conclure que l’équation proposée représente un paraboloïde hyperbolique.

Troisième exemple.

2x* 4- 3 y7 4- i8zs 4- i!\yz -+- 8xz 4- 2 xy 4- 8* 4-4 y 4-10* 4-1 = 0.

ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ A TROIS VARIABLES. 58g

Les trois équations dérivées sont :

(1) ix -+- y -f- 4Z -+• 4 = °»

Si l’on retranche la troisième équation du double de la seconde augmenté de la première, on trouve 3 = 05 donc ce système n’a pas desolulion, et par conséquent la surface est dépourvue de centre.

L’intersection de cette surface et du plan des xy est l’ellipse

Si’ -4- 3/’ -4- 7.xy -I- 8x 4- \y + 1= 0;

il s’ensuit que l’équation proposée représente un paraboloïde elliptique.