Faisons quelques applications des principes précédents

Connaissant le centre et le rayon d’une circonférence de cercle, proposons-nous de trouver l’équation de cette ligne.

Soient a , o, -l abscisse et l’ordonnée du centre C {Jïg . 19), et r le rayon. Si nous désignons par x et y les coordonnées d un point quelconque M de la courbe , nous aurons (n° 26)

CM = (a: ay+ (y — 6)’-t- 2 (or — a) (y — S) cos 0,

6 étant l’angle des axes.

Remplaçant CM par r, on aura

fx a)1-*- ( Y — ê)’-t- 2 (x — oc).(y — 6) COS 0 r%

équation qui n est autre chose que la traduction analytique de la définition de la circonférence.

30. Cherchons maintenant le lieu de l'équation y* = ix, ou construisons la ligne que cette équation représente.

En résolvant l’équation par rapport h y, on a les deux valeurs y = t/a x, y = — t/îx, ou simplement j = ± \fx. ,

Il est évident que j est imaginaire pour toutes les valeurs ^ négatives de x ; on ne doit donc attribuera cette dernière variable que des valeurs positives. En supposant d’abord

des lieux géométriques. - 45 .

x = o, on a j= o , ce qui fait voir que l'origine des coordonnées est un des points demandés. Pour toute valeur positive de x , ou obtient pour y deux valeurs égales et de signes contraires, d’où il suit que les points du lieu de L’équation sont deux à deux à égale distance de l’axe des x. On voit facilement que x augmentant , y augmente aussi , et que ces deux quantités peuvent croître jusqu’à l’infini; c'est-à-dire que les points successifs de la ligne représentée par l'équation donnée s’éloignent de plus en plus de l’axe des x, et que cet éloignement n’a pas de limite.

On comprend sans peine qu’il n’est pas rigoureusement possible d’obtenir toutes les solutions de l’équation proposée, car on ne peut attribuer à x que des valeurs discontinues.

Mais on peut toujours, en donnant à cette variable des valeurs très-peu différentes les unes des autres, avoir des points de la ligne aussi rapprochés et en tel nombre que l’on voudra. On joindra ensuite ces points par un trait continu , et l’on aura une ligne qui différera d’autant moins de celle que représente l’équation , que les points qu’on aura déterminés directement seront plus nombreux.

On trouvera de ectte manière que le lieu de l’équation yr= axa la forme indiquée par la fig. 20.