DES SURFACES SPHÉRIQUES, CONIQUES ET CYLINDRIQUES

De la surface sphérique.

433. En représentant par a, (B, y, les coordonnées du centre d’une sphère , et par r son rayon , l'équation la plus générale de cette surface est évidemment

+ a(x — «)(/- p) cos(x, /)

-t- 2(x — a) (z — 7) cos(x, z)

-t-2(.r — P)(z — v)cos(r» z)

Quand les axes sont rectangulaires, l’équation se réduit à

Cas particuliers. — Le centre peut être placé sur l’un des plans coordonnés, celui des xy par exemple; on a alors y = o, et, par suite,

mettons le centre sur l’axe des x , nous aurons /3 = o, y = o, et l’équation sera

Enfin, lorsque le centre est à l’origine, l’équation (1) devient

(2) x’-+-y!4-z’=±rJ;

c’est la forme sous laquelle l’équation de la sphère est employée ordinairement.

DES SUUEACES SPHÉRIQUES, COMIQUES, etc. 5yi

434. L’équation (i) étant développée donne un résultat de la forme

il1 -+- y -4- z3 A.r + B y "H Cz -l- D — o.

Réciproquement , toute équation de cette forme, quand les axes sont rectangulaires, représente une surface sphérique dont les coordonnées du centre sont

et qui a pour rayon

Celle proposition se démontre comme celle du n° 54.

435. Pour trouver l’intersection d’une sphère et tl un plan, il faut (n°365) combiner l'équation

j’ -4- y' -4- z' rrr r3

avec les formules

x = x' cosy -f- y' sin y cos 9 -+- a, y — x' sin y — y' cos <p cos 9-4-6, z — y' sin 9 c j

l’équation résultante en x', y' sera celle de la courbe d'intersection.

Or, en effectuant les calculs, on reconnaît: que le

coefficient de x' y' est nul ; 2° que les coefficients de x’1 et de y'* sont égaux à l’unité : ainsi (n" 54), celte équation • est celle d'un cercle.

Remarque. — Si l’on éliminait une des variables , z par exemple, entre l'équation (2) et l’équation A x -4- B/ -4- C z -4- D = o

d’un plan quelconque, on obtiendrait l’équation d’une ellipse. On en conclurait que la projection d’un cercle sur un plan est une ellipse.