Proposons-nous maintenant de déterminer I cqua

Sga

lion du plan tangent à la sphère, au point (x\y\ z') de cette surface rapportée à des axes rectangulaires.

Soient

l'équation de la sphère, et (n° 3-46)

celle d’un plan passant par le point (x',y', z').

Il est visible que le rayon mené au point de cotatact a pour équations

z')> yr- y = (*-*')•

Or, le plan cherché devant être perpendiculaire à ce rayon, on est conduit (n° 354) aux relations

ces valeurs, portées dans l’équation (2), donnent

(<*) (*' — «)(* — x') +- (/ — p) (jr — /) 4- (*' — 7) (* — *') = o

pour l’équation du plan tangent.

Celte équation peut être présentée sous une autre forme, au moyen de la relation

(*' ay + (f — p)> + {«' 7)* = qui exprime que le point (x', y’, z1) se trouve sur la sphère. , En effet, cette relation revient à

(x'- «)(*' — «) + (/-?)(/ -N + et, en l’ajoutant à l’équation (a), on trouve

(è) (x' — <*)(* — «) + (/— P)(r - P) + (*'— 7) (* — 7) = Quand l’origine est au centre de la sphère , on a * = o, p = o, 7=0,

DES SURFACES SPHÉRIQUES, CONIQUES, CtC. 5g3

et l’équation (5) se réduit à

C’est l’équation qu’on emploie généralement dans les applications.

Des surfaces coniques.

437. On nomme surface conique la surface engendrée par une droite qui se meut en passant constamment par un point donné et en s’appuyant sur une ligne aussi donnée. Le point donné est le sommet, la ligne donnée est la directrice, et la droite mobile la génératrice.

Soient jc', y', z' les coordonnées du sommet du cône, et

(i) F (ar, y, z) = o, F, (a-, y, z) = o.

les équations de la directrice.

Les équations de la génératrice seront de la forme

Puisque cette droite doit rencontrer la courbe , il faut que les équations (1) et (2) aient une solution commune; par suite, que l’équation résultant de l’élimination de x, y , z entre (1) et (2), équation que nous représenterons par

soit vérifiée par toutes les valeurs que recevront les indéterminées a et b dans les différentes positions que prendra la génératrice. 11 résulte de là que si on donne une valeur arbitraire à n,et que l’on calcule la valeur correspondante de b, ces valeurs, portées dans les équations ( 2), feront connaître une position particulière de la génératrice. Par conséquent, l’équation

à laquelle on parvient en éliminant a et b entre les équations (2) et (3), est l’équation générale des surfaces coniques.

438. Lorsqu'on suppose le sommet de la surfaee à l’origine des coordonnées, x1, y z' sout nuis , et l’équation (4) se réduit à

c'est la forme générale des équaLions homogènes. Ainsi V équation rie toute Siirj ace conique est homogène , quand l’origine des coordonnées est placée au sommet de cette surface.

La réciproque est vraie, car si l’on coupe une surface dont l’équation est une fonction homogène des trois variables x , y, z, par un plan

z — nx -4- by,

mené par l’origine, la projection de l’intersection sur le plan des xy , par exemple, aura une équation homogène en x et y\ et cette équation représentera alors un système de lignes droites ('•'). Tout plan mené par l’origine rencontrant la surface suivant un système de lignes droites, il s’ensuit que cette surface est conique. 7

439. On conclut de là que, pour reconnaitre si une surface dont l’équation est donnée appartient à la famille des surfaces coniques, il faut déplacer l origine et égaler à zéro les coefficients de tous les termes dont le degré est inférieur

(*) L'équation homogène

ym xym-' -+■ ■tV*-* . . = o

représente le système d'autant de lignes du premier ordre, qui passent par l’origine, que l'équation numérique

que l’on obtient en posant y = sx , renferme de racines réelles et inégales; car, en désignant par a,, a,, . ., «m les racines de l’équation en zy on

pourra mettre la proposée sous la forme

(r — *. *)(»• — O (r — *,!•)•• U — ’lm *) = o.

DES SURFACES SPHÉRIQUES, CONIQUES, etc. 5(p à celui de l'équation transformée, ce qui la rend homogène. Si les équations de condition fournissent des valeurs réelles et finies pour a, A, c (n° 359), il en résulte que la surface est conique; sinon, elle ne l’est pas.

440. Appliquons ce qui précède à la recherche de l’équation, en coordonnées rectangulaires, du cône oblique à base circulaire.

En plaçant la base dans le plan des xy, et son centre à l’origine, elle aura pour équations

(1) x,+y,= r\ z = 0; celles de la génératrice seront

si on désigne par x',y', z' les coordonnées du sommet.

L’hypothèse z = o, introduite dans les équations (2), donne

x = x’ — az\ y — y' — bz'\

portant ces valeurs dans la première des équations (1), 011 trouve

(3) (x' — az'Y -h (y‘ — bz')1—r'!

pour la relation qui doit exister entre les paramètres a et A. Enfin, si l’on élimine « et A entre les équations (2) et (3), on obtiendra l’équation

[xi (z — z') z'{x— x')y h- Lr'(z — zr) — z' (y—/)y

OU

(x'z — z'x)\y-f/z — z'yY=x /-'(z — z'Y, qui sera celle de la surface.

Dans le cas du cône droit , c’est-à-dire lorsque le sommet est sur l’axe des z, on a, à la fois,

5g6 CH APITIIE HUITIÈME,

et l’équation précédente se réduit à

en combinant cette équation avec les formules (n°36o), on pourrait obtenir les sections coniques, déterminées précédemment par une autre méthode.

Remarque. — Dans la question relative au cône oblique à base circulaire, si l’on prenait le sommet pour origine, et un plan parallèle à celui de la directrice pour plan des xy, les équations de cette courbe seraient

z~S, (x — a)’-l-(j — $Y = r7, ' et celles de la génératrice,

x — ai, y = bz.

On aurait évidemment, pour équation de condition,

(a S — a)1 + (b3 — p)1 = r’; ce qui conduirait à

(Sx — as)’ -I- (S y — (3z)5 — r’z’ = o pour l’équation de la surface.

Des surfaces cylindriques.

441. On nomme surface cylindrique la surface engendrée par une droite assujettie à glisser sur une ligne fixe en restant parallèle à une direction donnée. La ligne fixe est appelée directrice, la droite mobile est la génératrice . Soient

les équations de la directrice; celles de la génératrice seront de la forme

(2) x — nz -y p, y—bz-\-q,

a cl b étant deux constantes données. Puisque cette droite

. yr*

DES SURFACES SPHÉRIQUES , CONIQUES, CtC. 597

doit rencontrer la courbe, il faut que les équations (i) et (2) aient une solution commune. Par suite , l’équation résultant de l’élimination de x,y, z entre (1) et (2), équation que nous pouvons représenter par

doit être satisfaite par toutes les valeurs que reçoivent les indéterminées p et q dans les différentes positions que prend la génératrice. Il suit de là que, si on élimine p cl q entre les équations (2) et (3), l’équation résultante, savoir :

f[x — az, y — bz) — o,

sera l’équation générale des surfaces cylindriques.

442. Appliquons la méthode au cyliudrequi aurait pour directrice l’ellipse

Soient toujours

(2) x = az-+p, y=bz-hq,

les équations de la génératrice, l’élimination de x, y, z entre les quatre équations précédentes conduit à la relation