CLASSIFICATION DES LIGNES

31 j Les lignes, comme on l’a déjà vu, peuvent être représenlééi par des équations qui ne sont autre chose que l’expression d’une relation constante entre les coordonnées de chacun de leurs points. Or, ces équations pouvant être . algébriques ou transcendantes , on a distingué les ligues en lignes algébriques et en lignes transcendantes, suivant que leurs équations sont de la première espèce' ou de la seconde (*). Nous nous occuperons principalement des lignes algébriques.

Ces lignes sont classées en différents ordres d’après le degré de leurs équations. Ainsi , les lignes du premier ordre sont celles dont l’équation est du premier degré; les lignes du second ordre sont celles dont l’équation est du second degré ;'et ainsi de suite.

Nous devons faire observer que celte classification suppose que le degré de l’équation d’une ligne est, comme on le verra plus loin , indépendant du système d’axes coordonnés auquel on la rapporte. Il est encore important de remarquer qu’une équation à deux indéterminées ne représente pas toujours une courbe de l’ordre exprimé par le degré de l’équation; mais qu’elle peut représenter un système de lignes d’un ordre inférieur. En effet, soit

(*) Nous ut», considérons ici que tins coordonnée» rectilignes; parla suite, hous emploierons un autre systènje de coordonnées.

CLASSIFICATION OKS LIGNES. 4>

cette équation. En supposant que le premier membre soit décompôsable en facteurs rationnels f(x, y), f'{x, y ), f" (x ,y) , etc., il est visible que les solutions de l'équation

sont celles des équations • .

et comme chacune de ces dernières représente, en général, une ligne, il en résulte que le lieu de l'équation proposée est le système de ces lignes. Ainsi , l’équation

(y -f- nx -t- b) (/’ — ex) (y3 — de'- f- ex -4-/J = o

représente un système de trois lignes : l'une du premier ordre, l'autre du deuxième ordre, et la dernière du troisième ordre. Il est bien entendu que les facteurs du deuxième et du troisième degré sont supposés indécomposables.

32. On ne se borne pas à distinguer les lignes algébriques en divers ordres; on cherche encore les différents genres qu’un même ordre peut renfermer, et, s’il y a lieu, les différentes espèces de chaque genre.

Ces lignes sont alors classées d’après certains caractèresqui lesdistinguentcomplétçment les unes des autres. Enfin on détermine la forme et les propriétés de chacune d’elles. C’est ce que nous ferons pour les deux premiers degrés. Nous reconnaîtrons que dans le premier degré il n'v a que des lignes droites, et.ouc le second renferme trois genres de courbes bien distinctes. On a trouvé pour le troisième dcgr«h soixante-dix-huit espèces de courbes.

^8 -, CllAlMTRE QUATRIÈME.

LIGNES DU PREMIER ORDRE

Construction des équations du premier degré .

33. L'équation du premier degré peut être ramenée à la forme A y -+- ll.r= C. Si noussupposons C = o , et si nous résolvons l'équation par rapport à y, nous aurons y = ax , le coefficient a de a: pouvant être positif ou négatif.

Prenons d’abord a positif. En donnant à x des valeurs positives , on a pour^ des valeurs positives ; et en attribuant à x des valeurs négatives , on obtient des valeurs de la même espèce pour y. D’où il résulte que les points dont les coordonnées vérifient la relation y — ax sont situés dans l’angle YAX ( fi g . 21) et dans son opposé au sommet Y'AX'.

Celte équation donne - = a ; c’est-à-dire que, pour les

points quelle détermine, le rapport de l’ordonnée à l’abscisse a une valeur constante a-, par conséquent, si M, M' sont deux de ces points, et qu’on mène les ordonnées MP, M'P', les triangles AMP, AM/P' seront semblables, comme ayant un angle égal compris entre des côtés proportionnels. Donc les angles MAP, M'AP' seront égaux; par suite, les • points M , M' sont en ligne droite avec l’origine. Il en serait de même de tous les points qu’on déterminerait par l’équation y = ax.

On conclut de là que l'équation y = ax a pour lieu géométrique une ligne droite HH' (fig. 21) qui passe par l’origine df?8 coordonnées et par l’un des points M (pie détermine l’équation y = ax.

LIGNES DG PREMIER ORDRE

Réciproquement, si l’on prend un point quelconque M' sur la droite HH', les coordonnées de ce point satisferont à la relation y = ax.

En effet, en menant les ordonnées MP, M'P', les triangles semblables AMP, AM 'P' donneront

Mais

M'P' MP AP' ~ ÂP'

MP

ÂT>

a , donc

AP'

et, en désignant généralement par .r et y les coordonnées du point M', on arrive à l’équation y — nx.

Lorsque a est négatif, en mettant le signe. — en évidence, on a

dans ce cas, les valeurs positives de x fournissent des valeurs négatives pour yy et les valeurs négatives de x conduisent à des valeurs positives pour y. En raisonnant comme précédemment, on trouvera une droite dans la situation HAH' {fig- 22). On conclut de là que, quel que soit n, l’équation y = ax représente une ligne droite passant par l’origine des coordonnées.

Pour construire cette ligne, on fait .r = r , ce qui donne y = a \ à partir de l’origine, on prend sur l’axe des x une longueur AP égale à l’unité: par le point P on mène à l’axe des j une parallèle indéfinie PM {fig. 21 et 22) sur laquelle on prend une longueur PM égale o, au-dessus ou audessous de l’axe des x, suivant que a est positif ou négatif, et l’on joint le point M à l’origine des coordonnées.