I. équation demandée est donc

sin a ,

y = -t— rr -, •*-+-«■

sin (0 — a)

Quoique nous ayons implicitement supposé a <0, l’équation que nous venons de trouver convient encore au cas où l’on a«>5 ( Jig . 20 ).

En prenant encore un point N sur FF', et en menant l’ordonnée NP, on aura

NP sin NAP sin a

AP sin ANP sin (a — 9)

Or, l’abscisse du point N est — AP; on a donc

— AP

ce qui conduit à

sin a sin a sin (a — 9) sin(9 — a)

D’où il résulte que l’équation

sin a

sin (9 — a)

convient encore à la droite DD'.

Nous devons faire remarquer : i°. que l’angle 0 des axes est celui qui est formé par les parties AX, A Y de ces lignes

sur lesquelles sont comptées les coordonnées positives; 2°. que l’angle a est l’angle DCX formé du côté des abscisses positives par la partie de la droite située au-dessus de l’axe des x; 3°. que l’ordonnée à l’origine b peut être positive ou négative. *

Quand l’angle 6 = 90°, comme sin (6 — a) = cos a, sin a

a — — tang a.

cos a

Ainsi, quand les axes sont obliques, a est un rapport de sinus, et lorsque les axes sont rectangulaires, a représente la tangente trigonométrique de l’angle que la droite fait avec l’axe des x.

40. Problème II. — Connaissant l’équation y= ax-4-b d’une droite , déterminer l’angle qu' elle forme avec l’axe des x.

Nous vouons de voir que a — — — — -, 6 étant l’angle 1 sin ( 9 — a ) a

des axes , et « l’angle demandé. ’

De cette équation on tire

, a . sin ( 9 — a ) =r sin a,

oti

a (sin 9 cos a — sin a cos 9) = sin a.

Divisant les deux membres par cos a, il vient a ( sin 9 — tang a cos 9 ) = tang a,

et, par suite ,

tang a =

a sin 9 1 -1- a cos (

formule cjue l’on peut facilement rendre calculable par logarithmes. , .

41. Problème III. — Trouver l’équation d’une droite qui passe par deux points donnés.

Soient x', y x", y" , les coordonnées des points donnés

LIGNES DL PREMIER ORDRE. 5 7

M', M " . F.u supposant que la droite rencontre l’axe des y, son équation sera de la forme y = ax 4- b ; les inconnues étant a et b. Pour les obtenir, nous ferons remarquer que la droite devant passer par les points donnés, les coordonnées de ces points doivent satisfaire à la relation y = ax -+- b, ce qui conduit aux deux équations

y'=ax'-+-b, y" = ax"-+b.

On pourrait, au moyen de ces équations, trouver facilement les valeurs de a et de b , qu’on porterait ensuite dans la relation j- = ax -+- b. Mais le calcul suivant est un peu plus simple; en retranchant membre à membre les équations y = nx -+- b , y' = ax' -+- b , ce qui revient à éliminer l’inconnue b entre ces équations , on a v — y' — a [x — x').

Pour obtenir « on retranche aussi , membre à membre, les équations y'— ax'- 1- £>, y" — ax" -h b, ce qui conduit à

d’où a — ^r-

Portant cette valeur de a dans l’équation^ — y'— a (x — x>) ; il vient

b (*- ad-

équation de la droite qui passe par les deux points donnés^ On peut s’assurer de l’exactitude de l’équation (i) en prouvant qu’elle est vérifiée par les coordonnées des points

En effet, si l’on remplace x et y par x', y', ou aura - {y'— y') — ^-r,{x' — x'), ou o = o.

En remplaçant x,y par x",y", il vient (/'-/)= (x"-x'l

Il est très-important de faire remarquer que 1 équation y y' — a — %') représente toutes les droites qui passent par le point dont les coordonnées sont x' vly' .

Si l’on a

y' — y" et x'< ou >x", l’équation (i) devient

X — y' = O, ou y — y.

En effet, dans ce cas la droite M' M " doit être parallèle à l’axe des x. En faisant x' — x", y' étant différent de y", lequation prend la forme

y — y = co x (x — x').

Mais on évite ce résultat en multipliant d’abord par x' — x" les deux membres de l’équation (i) ; elle devient alors

ce qui conduit, dans l’hypothèse établie, à ; (y— y") (x — x') = o, et comme y1 — y" n’est pas nul , on a

x — x' = o , ou x = x',

équation d’une parallèle à l’axe des ordonnées.

En supposant à la fois y' — y " , x' — x", on trouve

Effectivement, la position de la droite doit être indéterminée, puisque cette ligne n’est assujettie qu’à passer par un point.

42. Problème IV. — Trouver V équation d'une droite qui passe par un point donné et qui soit parallèle à une droite donnée. . .

Soient y = nx 4- b 1 équation de la droite donnée, et

L1GJNES DU PREMIER ORDRE

x',y' les coordonnées du point par lequel doit passer la parallèle; cette dernière ligne aura une équation de la forme y = a' x -4- b', les inconnues étant a', b'.

En désignant par a l’angle que la première droite fait avec l’axe des x, et en représentant, pour un moment, par a.' l’angle de la seconde droite avec ce même axe, on aura (problème I)

sin a , sin al

sin (6 — a)’ ° sin(0 — a')’

6 étant l’angle des axes.

Or, les droites étant parallèles, «'=«, et par suite a'— a. Cette condition est suffisante, car (problème II) on a

a sin 0 a sin 0

tane a = et tane « — )

i 4- a cos 0 u i+n cos 0

d’où l’on tire

tang a = tang a',

quand a = a'.

Si l’on remplace a' par «dans l’équation y = a' x -I- b1, elle devient

y — ax - f- il’;

comme b' reste indéterminée, cette dernière équation représente toutes les parallèles , en nombre infini , à la droite donnée.

La seconde droite devant passer par le point qui a pour coordonnées x',y', on a la relation y' =±= ax' ■+- retranchant membre à membre, pour éliminer />', les deux équa-, lions

; = aï+ b' , y' — ax -H b',

on. a

y — y' = a (x — x'), qui est l'équation demandée. ' ’

6o CHAPITRE QUATRIÈME.

4d. Problème V. — Déterminer le point il' intersection de deux droites dont on a les équations.

Soient

y — ax -+- b, y = a’ x -+- b’

les équations données. Les coordonnées du point de rencontre des deux droites devant satisfaire aux équations (i) et ( 2r),' nous allons résoudre ces deux équations. En les retranchant membre à membre, on obtient

o = x [ a — a ) + b — b , u ou x — , ;

cette valeur portée dans une des équations, dans (1) par ■ exemple , donne

ab’ — ha!

Lorsque a — a', b étant différent de b\ les valeurs des' coordonnées x et y, du point de rencontre , deviennent infinies; il en doit cire ainsi , puisqu’alors les droites sont parallèles.

Si L’on suppose à la fois a = b — b on a

* = y = ri

valeurs indéterminées. En effet , dans ce cas , les équations des deux droites étant les mêmes , ces deux droites se confondent, c’est-à-dire que tous les points de l’une d’elles appartiennent à l’autre.

44. Problème VI. — Etant données les équations de deux droites , trouver l’angle de ces droites.

Soient y= ax b , y = a' x b les équations des droites- données CD, C'IV {fi g- 9.9) que nous supposons d’abord rapportées à des axes rectangulaires.

. LIGNES Dll PREMIER ORDRE. 6l

Nommons e l’angle CMC' des deux droites ; a, a', les angles que ces mêmes droites font avec l’axe des x ; nous aurons

«l’oit tang v = tang ( a! — a):

tanga' — lang a i -+- tang a tang a'

Or, donc ,

tang a — a, tang a! — n';

tane v ~ -, r)

° i -h an'

formule qui donne la tangente de l’angle demandé.

Nous devons faire observer que les deux droites CD, C'D' forment deux angles CMC', DtVIC' différents, mais supplémentaires, et qu’alors leurs tangentes doivent être les mêmes au signe près ; il résulte de là que la valeur obtenue précédemment, étant prise en signe contraire, conviendra à l’angle C'MD.

Quand les deux droites sont parallèles, e = o, et, par suite,

i -+■ aa

on en peut conclure a = a\

Supposons d’abord qu’aucune des «juantités a, a' né soit infinie ; on devra avoir a' — a = o, et t aa' différent «1e zéro. Or cette seconde condition est une conséquence de la première, puisque i -t- aa' devient i a*.

Si l’une des quantités a, a' est infinie, a' par exemple,, en divisant par a' les deux termes de la valeur de tang e, on ’ aura

ou , parce que a' esl infini , ~ = o, ce qui exige que a soit

aussi infini ; on a donc encore a = a'.

Lorsque les deux droites sont perpendiculaires, la valeur de tang v doit être infinie, ce qui entraîne la condition