n' cos
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LIGNES DU PREMIER ORDRE. 63
substituant ces valeurs de tang a. , tang a' dans
tang a' — tang a
tang v = " — , i
i -I- tang a tang a
on trouve, après avoir multiplié les deux termes de la fraction par le produit ( i H- a cos 0) ( i -+- a' cos 0),
( a ' — a ) sin 9
tang v =
i +• aa' -h (a -f- a' ) eos 9
On peut encore démontrer ici que dans le cas où les droites sont parallèles, on a a = a\ et que quand elles sont perpendiculaires, on doit toujours avoir
i -+- aa' -h (a + a') cos 6 = o.
La condition de parallélisme sera remplie lorsque a' — a sera nul, le dénominateur étant différent de zéro; ou bien lorsque le dénominateur sera infini , le numérateur ayant une valeur finie.
La condition a! — a — o , ou a' = a , donne pour dénominateur
i -+- a" 2 a cos 9, f qui ne peut être nul , car
t -f- a' -f- 2o cos 9 = (a -f- cos 9)1 -f- sin’ 9.
Pour que le dénominateur soit infini , il faut que l’une des quantités a ou a! soit elle-même infinie, a' par exemple. Divisant par a1 les deux termes de la valeur de tang e, il vient
sin 9
tang t' =
— 7 -f- fl -t- ( — -f- I
cos 9
i, parce que a = sc
rsx*\
tang v =
sin 0
a -4- cos 0
JL&
vT'* ■'
ÂV. p’Sk-
a hm
Pour que cette tangente soit nulle , il faut que a — oc . On a donc encore a = a'. On conclut de là que pour que deux droites soient parallèles , il faut et il suffit que leurs coefficients angulaires a , a' soient égaux.
Lorsque les deux droites sont perpendiculaires, on doit avoir
tang c = oc .
Pour qu’il en soit ainsi, il faut que le dénominateur soit nul , sans que le numérateur le soit; ou que le numérateur soit infini, le dénominateur ayant une valeur finie.
Dans le premier cas ,
(l) i 4- aa1 -t- (« a') cos 0 = o.
et l’on sait qu’alors le numérateur ne peut être nul.
Dans le second , l’une des quantités a ou a' doit être infinie; supposons que ce soit a! . En divisant par a! les deux
termes de la valeur de tang u, on a
tang = —
sin 9
a 4- cos 9
quand a' = oc . La condition a' — oc ne suffit pas pour rendre infinie la valeur de tangente o; il faut encore que l’on ait a = — cos 9. Mais ces valeurs de «' et de a vérifient l’équation
i 4- aa' 4-(a 4- a' ) cos 9 =: o , que l’on peut mettre sous la forme
A 4- a -h ( — 4- i l cos 9 o= o, a' \a f
puisqu on a a 4- cos 9 — o.
Ainsi , l’équation (i) exprime , dans tous les cas, la condition nécessaire et suffisante pour que les droites repré-
LIGNES Ut PllEMIEIt ORDRE.
sentées par les équations
y = ax -|- b , y = a' x 4- />', soient perpendiculaires.
46. Problème VII. — Mener par un point donné une perpendiculaire à une droite aussi donnée , et trouver la longueur de la perpendiculaire .
Supposons d’abord les axes rectangulaires. Soient x, y' les coordonnées du point donné P, et y = ax 4- b l’équation de la droite CD (fig. 29). La ligne demandée devant passer par le point P, son équation sera de la forme
Or, les deux droites étant perpendiculaires, on a
1 + aa! — o, d’où d —
L’équation de la perpendiculaire, PM , sera donc j — y'=—~{x — x').
Les coordonnées du point M sont les valeurs de x etdoj , qui satisfont en même temps aux équations des deux droites; mais, d’après l’expression générale
Sx= V(.r — x'y->r(y-y'y
de la distance de deux points dans le cas où les axes sont rectangulaires, il suffit de calculer les différences x — x ', y — y'. Pour les obtenir, nous mettrons l’équation
sous la forme
y — y' — ,a (a: — x') — y' 4- ax' 4- b.
Cette équation , combinée avec celle de la seconde droite
donne
— ax' — b
Substituant, il vient
ax' — bY[a-‘ +
y' —ax' — b V«34- i
Telle est l’expression de la perpendiculaire PM.
La valeur de â devant être positive , on prendra le signe supérieur quand le numérateur y' — acd — b sera positif, le signe inférieur quand le numérateur sera négatif.
En faisant en même temps
ou aura pour la longueur delà perpendiculaire abaissée de l’origine sur la droite y = ax 4- b ,
Lorsque le point donné est sur la droite, on a y' — ax' — b= o, d’où 5 = o.
Ce qui doit être nécessairement.
Remarque. — En appliquant la géométrie à la question précédente, on obtient, après avoir abaissé la perpendiculaire PGH ( fig . 29) sur l’axe des x ,
PM = PG . sin MGP = PG . cos DCX .
Or,
PG = PH — GH = y’— ax' — b.
cos DCX — ±
y' 1 4- tang! DCX 4 1 4- «3
i-rcu*-1*: ';*"*■* '"-T
LIGNES ÜU PREMIER ORDRE
Substituant ces valeurs dans l’équation PM = PG. cos DCX ,
on trouve
y — (ix
sji a7
47. Considérons maintenant le cas où les axes font un angle quelconque 0. En désignant, comme précédemment, les coordonnées du point donné (fig. 3o) par a/, y\ et l’équation de la droite par
on aura d’abord
y — y' = a' [x — x') , 1 ■+- a a' -+- (a -+- a') cos 9 = o;
d’où
, 1 H- a cos 6
à H- cos 9 ’
et l’équation de la perpendiculaire sera , 1 -t- u cos 9
' ' J J a -f- cos 9 1
Pour trouver la longueur de cette droite, nous prendrons la formule
(3) 8 — \J(x — x'Ÿ+ (y — y y -+■ 1(X — x') [y — y') cos 9.
En mettant l’équation (1) sous la forme
y — y' = a ( x — x1) — y' -t- ax' -4- b ,
et la combinant avec l’équation (2) , on obtient
x x,{a + cosO){y—ax'—b)
