t- a2 -+- 2 a cos
, (1 -H a cos 0) (y' — ax' b)
y — Y — !—LX. — ;.
J J 1 ■+■ a7 4- 2 a cos 9
68 chapitre quatrième.
Portant ces valeurs dans la formule (3), ou trouve
5 — Ir'— <*x'— 6)sinS \[Y +(l' + 2fl COS 0
On peut obtenir cette valeur de â d’une manière plus simple. Par le point H (J‘g- 3o) , on mène BO parallèle à l’axe des .r; on prend sur cet axe une longueur AI égale à l’unité, et l’on conduit IK parallèle à l’axe desv, jusqu’à la rencontre de la droite donnée. On a alors
OR = a.
Le triangle MPG donne
MP = PG sin MGP; et, comme l’angle BKO = MGP, on a MP = PG sin BKO.
Or, d’après un principe connu ,
sin BRO
BO
BR
BR
\/ 1 4- n’ 4- 2 a cos 0
sin BOR D’ailleurs,
sin BOR = sin 0 , PG — y' — ax' — b ; on a donc, en posant MP = â ,
„ [y' — ax — è)sinO
V i -h ci1 -f- 2 a cos 9
■48. L’équation de la ligne droite prend une forme élégante quand on y fait entrer les distances de l’origine aux points de rencontre de cette ligne avec les axes.
En reprenant l’équation générale
(i) Aj4-Bx4-C = o,
nous supposerons successivement
LIGNES DU PREMIER ORDRE
ce qui donnera
v = et x =
Si l’on pose
il en résulte
Ces valeurs, portées dans l’équation (1), donneront
49. A l’aide de ce qui précède, ou peut résoudre les questions qui ne dépendent que de la ligne droite, et qui sont relatives à des points situés sur un même plan. Nous
milieux des côtés d’un triangle se confient en un même point (fig. 3i).
Soit ABC le triangle proposé; prenons pour axe des x le côté AB, et pour axe des y la perpendiculaire AY élevée au point A sur AB. Nommons a/, y' les coordonnées du point C, et x" l’abscisse du point B, pour lequel l’ordonnée est nulle. L’équation de OM , perpendiculaire au milieu de AB, est
La perpendiculaire l’0 sur AC , passant par le point P dont
d’où l’on déduit, en divisant par C et eu changeant les signes.
allons faire quelques applications.
Démontrer que les trois perpendiculaires élevées sur les
les coordonnées sont — 5 — 5 a une équation de la forme 22 1
Si l’on désigne par a la tangente de l’angle CAX , on a
et, comme on doit avoir
il en résulte
ce qui donne
pour l’équation de la perpendiculaire PO. Les coordonnées du point N étant les demi-sommes de celles des points B, C , auront pour valeurs
Et , comme la tangente de l’angle CBX est — , on aura ,
en ayant égard à la condition de perpendicularité,
pour l’équation de la droite NO.
Pour trouver les coordonnées du point de rencontre des droites PO, NO, on égalera les seconds membres de leurs équations; ce qui donnera , en supprimant de part et d’autre le dénominateur y1,
Effectuant les opérations indiquées et réduisant, on trouve
LIGNES Dt PREMIER ORDRE. ’J l
d’où l'on conclut que les trois perpendiculaires se coupent au môme point O.
Déterminons maintenant le rayon R du cercle circonscrit au triangle. A cet effet, cherchons l’ordonnée du point O,
Nous l’obtiendrons en remplaçant x par — dans l’équation (2) par exemple. Le calcul , très-facile à exécuter, conduit à
■ 2 iy' 2 y 2 y 2 y'
en désignant par b le côté AC. On a alors
R = \/: T + = 57 sjy-(y^y+ b'~ywx'x"
= —- Jbjx"‘- f- b' — 2 b1 x’x" = — — ^x"'-t- b‘ — ix‘x" = ,•>
en remarquant que le radical est la valeur de BC ou a.
De l’égalité R = , on tire
ab = 2 R y’ -,
c’est-à-dire que dans tout triangle le produit de deux côtés est égal au produit du diamètre du cercle circonscrit par la hauteur relative au troisième côté : proposition qu’on démontre en géométrie.
50. Démontrer que dans tout triangle les droites menées des sommets aux milieux des côtés opposés se coupent en un meme point.
Nous prendrons pour axes les côtés AB, AC (Jig- 3 2 ) . Les coordonnées du point A seront
celles du point B,
celles du point C ,
On aura pour le point M ,
* = jr==Qi
pour le point N ,
et enfin pour le point P,
L’équation de la droite AN sera
celle de la droite CM,
et celle de BP,
r =-i— v(x — x"), ou y — — —-(X — x"). .
En cherchant les coordonnées des points communs à la première droite , et à chacune des deux autres , on trouve le même système de valeurs :
Ce, qui démontre le théorème énoncé.
On démontrerait d’une manière semblable que les trois hauteurs d’un triangle se rencontrent au même point.
Nous terminerons les applications par la question suivante :
LIGNES DI l'REMIEH ORDRE.
51. Si d’un point P (üg. 33 )„/>rà sur le plan d’un angle YAX, on mène une série de droites telles que PBC, PB'C', etc., qui rencontrent les côtés de cet angle, les lignes qui, comme B'C , BC, joindront les points de section opposés se couperont en des points O, O', etc., dont on propose de trouver le lieu géométrique.
Prenons pour axes les côtés AX, A Y de l’angle donné, et représentons par x', y', les coordonnées du point P. En désignant par a , a\ les distances AC, AC', l'équation de la droite PC sera
Ainsi, son ordonnée à l’origine, AB, sera
et, par conséquent, la droite BC' aura pour équation
y (a — x') x ay' a'
d’où, en faisant disparaître les dénominateurs,
(t) n'(a — x') y -+- ay' x — aa'y'.
L’équation de la droite B'C doit être alors
(2) a (a1 — jé ) y -+- a' y' x — a' ay' .
On peut ici éliminer a et a' entre les deux équations (1) et (2). Il suffit pour cela de retrancher ces équations membre à membre, et de supprimer le facteur a — a! , ce qui conduit à
équation d’une droite qui passe par l’origine.
Pour la construire, nous ferons observer que I hypothèse x — x' donne
D'où il résulte qu’eu prolongeant l’ordonnée PM d une longueur P' M égale à cette ordonnée, le point P' appartiendra à la droite, et, par suite, le Heu demandé est la droite P' AP".
On peut remarquer que l’équation (3) ne change pas quand on y remplace od , f par des quantités qui leur soient proportionnelles, c’est-à-dire par les coordonnées d’un point quelconque de la droite APQ, qui joint le point donné à l’origine. D’où il faut conclure que, quel que soit le point que l’on prenne sur cette droite APQ, le lieu géométrique des points O, O', etc., sera toujours la même droite P' P".
