Nous proposerons au lecteur les exercices suivants

Problème I. — Trouver la surface d’un triangle en fonction des coordonnées des sommets.

Problème II. — Mener par un point donné hors d'une droite une seconde droite "nui forme avec la première un angle connu.

Théorème 1. — Les diagonales d’un parallélogramme se coupent mutuellement en deux parties égales.

Théorème II. — Les bissectrices des angles d’un triangle se cou/)ent en un même point .

Théorème III. — Dans tout triangle rectiligne, le centre du cercle circonscrit , le point de concours de médianes , le point d’intersection des trois hauteurs, sont toujours en ligne droite.

Problème III. — Deux droites qui se coupent étant données, trouver le lieu géométrique : i°. des points dont la somme des distances aux deux droites égale une longueur connue ,• 2°. des points dont la différence des distances aux deux droites égale une longueur connue 3°. des points dont le rapport des distances aux deux droites égale une quantité donnée.

IUi CERCLE.

DU CERCLE

53. Ou a vu (n° 29) que l’équation générale de la circonférence est

(1) (y — 6)’-+- ( x — a)1 2 (/ — 6) (a: — «) cos 9 = r1,

6 étant 1 angle des axes; a, o les coordonnées du ceulre, et r le rayon.

Lorsque l’angle 0 des axes est droit, le cosinus étant égal à zéro, l’équation se réduit à

lin plaçant l’origine des coordonnées en un point île la circonférence, et en conservant les axes rectangulaires, ou aura (fig. 34)

ce qui réduira l’équation (2) à

(3) y7 — 2%y x7 — 2 ccx — o.

Si l’on fait passer l’axe des abscisses par le centre et si on laisse l’origine sur la circonférence, l’ordonnée du centre étant alors nulle et l’abscisse étant r,

1 équation (3) devient

y7 -+■ x7 — 2 rx — o.

Si l’on place l’origine des coordonnées au centre, l'équation de la circonférence sera , dans le cas des axes obliques,

- y7 -h x7 -+- 2 xy cos 0 = r7,

et , dans le cas des axes rectangulaires, y 7 -+- x1 =

ai. L’équation

étant développée, conduit à une équation de la forme ;'+x'+ by -+• ax + c = o ,

qui ne renferme pas le rectangle des variables, et dans laquelle les carrés de ces variables ont des coellicients égaux et de même signe.

Lorsque ces conditions sont remplies, l’équation ne peut représenter d’autre ligne qu’une circonférence de cercle rapportée à des axes rectangulaires.

En effet, l’équation dont il s’agit peut être mise sous la forme

(jr+5) + (* + i):=— r--f’

qui représente une circonférence dont les coordonnées du

centre sont — -, — - » et le rayon y/ — ^ c, pourvu,

toutefois , que — -, c soit positit.

a7 fol

Si c = o , le cercle se réduit à son centre.

Et si

a + ^ c est négatif, l’équation est impossible.