L’équation
(>• — (x — a)’ -f- 2 [y — 6) (x — a) cos0 = r 7 étant développée , donne
y7-h xM- 2 xy cos 0 — 2 ( ê •+- a cosO )/ — 2 (a -f- 2 6 cos 6 ) x
61 y.‘ -f- 2 a ê cos 0 — t3 = o ,
DU CERCLE. 77
dans laquelle les coefficients des carrés des variables sont égaux à 1 unité, et le coefficient du terme qui contient leur rectangle égale le double du cosinus de l'angle des axes.
Toutes les lois que les conditions qui viennent d’être énoncées seront remplies par une équation du second degré entre coordonnées obliques, cette équation ne pourra pas représenter d’autre ligne qu'une .circonférence de cercle.
En effet, soit l’équation
(2) -+- t* + 2 xy cos 0 by -+- ax -+- c — o.
En l’identifiant avec l’équation (1), on obtient
a ( ê ■+■ a cos 0 ) = — b , 2 ( a -f- 6 cos 0 ) = — a ,
fi1 -h »* -f- 2 a§ COS 0 — r1 = r.
De ces trois dernières égalités on tire facilement
b cos 0 — a 2 sin30
n cos 0 — b 2 sin1 0
— 2 ab cos 9
En reportant ces valeurs de a. , S , »* dans l’équation (1), elle devient identique avec f équation ( 2). Cette dernière repré-
, . », . /o1 - 1- 0- 2 00 cos 0
sente donc une circonférence, si 4 / ; — r
’ V 4 sin’ 9
est une quantité réelle.
Lorsque le radical est nul, la courbe se réduit à sou centre; c’est-à-dire que l’équation ne représente plus qu’un point.
Si le radical est imaginaire, l’équation est impossible.
Quand l’équation (2) représente une circonférence de cercle, pour trouver le centre il n’est pas nécessaire de construire les valeurs de a. et 6.
En effet, soit C [fi g. 36) le centre demandé; si l’on abaisse
de ce point des perpendiculaires CM , CN sur les axes , et si l’on mène à ces derniers les parallèles CP, CQ , on aura
AIS — AQ -h QN = S + ü cos A = >
et
AM = AP + PM = « -H 6 cosfl = — -•
On voit alors qu’en prenant avec des signes contraires dans l’équation ( 2) les moitiés des coefficients des termes du premier degré , on aura les longueurs AN , AM , et , par suite , le centre C, en élevant des perpendiculaires aux axes par les points N , M.
Théorèmes relatifs au cercle.
56. L’équation du cercle rapporté à deux axes rectangulaires passant par le centre est, comme on l’a vu,
On en tire
On voit qu'à chaque valeur AP (fg- 3^) de x correspondent deux valeurs MP, M'P de y , égales eide signes contraires; et puisque MM' est perpendiculaire sur A13, si l’on applique la partie inférieure BM'B'de la circonférence sur la partie supérieure BMB', ces deux parties devront coïncider. On conclut de là que : i°. Tout diamètre B'AB divise la circonférence et le cercle en deux parties égales; 20. tout diamètre perpendiculaire sur une corde divise aussi cette corde et Tare sous-tendu en deux parties égales.
L’équation (1) donne
Si l’on suppose
DU CERCLE
x = AP, r=MP,
on aura
r-h x = B' P, r — x = BP ,
par suite,
Mp‘ = B'P X BP;
donc , l’ordonnée perpendiculaire au diamètre est moyenne proportionnelle entre les deux segments de ce diamètre.
Si l’on mène la corde IV M , et si l’on désigne toujours par x et y les coordonnées du point M, on aura
B'M = y* + (r-+- x)i=jr‘ -t-x’ -4- nrx -f- r1 = ür1 4- 2 rx, parce que
y1 -Jrx'—r2.
L’égalifé
B'M = 2r! -H 9. rx
revient à
B'M ‘ = îr(r + .r) = B’B X B'P.
On en conclut que la corde B'M est moyenne proportionnelle entre le diamètre et le segment adjacent à cette corde.
Les équations des droites B'M, BM, menées des extrémités d’un diamètre à un point quelconque de la courbe , sont
y = a(x-hr), y=a'(x — r).
On en déduit
et, en multipliant ces deux valeurs,
aa — — = — — i
puisque le point M , dont les coordonnées sont x , y, appar-
80 chapitre cinquième.
tient à la courbe. La relation au' = — i montre que les droites B'M, BM sont perpendiculaires , c’est-à-dire que tout angle inscrit dans un demi-cercle est. droit.
o7. On peut démontrer, en général , que tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux entre eux.
Soit DM B {fi g- 38) le segment quelconque que l’on considère. Prenons pour axe des x la corde du segment , et pour axe des y la perpendiculaire élevée au milieu de cette corde.
En désignant par 6 l’ordonnée CA du centre, et en faisant BD = a c, l’équation du cercle sera
[y — 6)2-(-x,= rî ou y* -+- x, — 2Ç/-(-ë, = ^,, équation qui se réduit à
parce que
r‘ — êJ = c\
Les équations des droites DM , BM sont respectivement y = a (*-+- c), y — a' [x — c).
On en déduit
Or,
tang DMB =
i an' ’
remplaçant a et «' par les valeurs qui précèdent, on a
lang DMB =
(x — c) .r+c 2 cy
Comme le point M est sur le cercle, on a , entre ses coor-
DU CERCLE
données , la relation
y'- -+- x' — 28 y — c’ = 0, de laquelle on tire
ce qui conduit à
