ABX AC = AD X AE
c’est-à-dire que les sécantes entières sont réciproquement proportionnelles à leurs parties extérieures.
' chapitlie cinquième.
On démontrerait d'une manière tout à fait semblable que deux cordes qui se rencontrent dans le cercle , se coupent en parties réciproquement proportionnelles.
59. Déterminons par le calcul les conditions d'intersection d'une droite et d’un cercle.
Soient
l’équation du cercle , et ( 2 ) y = ax -f- b,
celle de la droite.
Pour trouver les coordonnées des points communs à ces deux lignes, remplaçons, dans la première équation ,jy par sa valeur tirée de la seconde, il viendra
(ax -t- b)7 x1 = r% • ou
(3) (a’ + i)x7 -h 2abx -t- b7 — r’ = o;
d’où
— ab±\Ja7b7 — (n:-)-i) ( b * — r7) — ab±^(a,-\-i)rt —
Pour qu’il y ait réellement intersection, il faut que ces valeurs de x soient réelles, c’est-à-dire que l’on ait
(a7+i )r7>b7, d’où
or, le premier membre de cette inégalité représente la distance du centre à la droite : on voit donc que cette dernière ne peut couper le cercle qu autant que sa distance au centre est moindre que le rayon.
Lorsqu’on a (a* i) ?•’ = ù!, les deux racines de l’équation (3) sont égales à ^ ; en portant cette valeur com-
DU CEftCLE.
inupe dans y = ax-+- b on obtient
Dans ce cas , la droite n’ayant plus avec le cercle qu’un seul point commun dont les coordonnées sont
est tangente au cercle en ce point. Des valeurs de x' et y' ' rti tire , par la division',
-Multipliant membre à membre les équations.
il vient
r"—by\ d’où b — — -
Portant ces valeurs de a et b dans y = ax &, on a
X = — J7'*'"*”/’ OU + xx'==.r,‘’ ' v
• . cette dernière équation, que nous retrouverons bientôt, par uire autre méthode, représente la tangente au point de la • circonférence dont les coordonnées sont x\ y'.. • ’
(K): Cherchons actuellement les conditions relatives à l’intersection et au contact des cercles
Soient Â,VB (Jig. 4°) h-s centres des deux 'cercles , R, r, leurs rayons, et d la distance AB des centres.
Plaçons l’origine des coordonnées rectangulaires au centre À du premier cercle, et prenons pour axe dcÿ jbscisses * • • • “6.
la droite des centres; les équations des cercles A , B, seront
(2) /*+ (rf— ' ‘x)? = r*.
Pour obtenir les points communs aux deux circonférences , il faut chercher les solutions réelles communes aux équations (i),.(a);si l’on retranche ces équations membre à membre , on obtient
ndx — d1 — R1 — r
d'où 1 1
celte valeur portée dans l’équation (1) conduit à
(4) jr = ±±Md*W-(H'-r*+d'y.
On rte peut avoir que deux solutions, d’où l’on déduit ce théorème connu : Deux circonférences de cercle ne peuvent, avoir plus de deux points communs à moins qu'elles ne se confondent.
On a trouvé une seule valeur de x et deux valeurs de y égales et de signes contraires; on conclut de cette remarque que quand deux cercles se coupent , la droite qui passe par leurs centres est perpendiculaire sur le milieu de la corde qui joint leurs points d’intersection.
Pour que les deux Circonférences se coupent réellement, il faut que la quantité placée sous le radical de la double valeur dey soit positive.
Cette quantité étant une différence de carré , 011 aura :
y = ±— , y/(2rfR -t-rf’-t- RJ — r?) (2z/R — d7 — R» 4- rM,
et comme chaque facteur. est , lui-même, une différence de
mi cr.RCLK
ta nés , on pourra écrire :
y = ± ^—^{d -+- R-+-r) (rf-4- B — r) (R -f- r — d) ( rf-f- r — R).
11 est permis de placer l’origine au centre du plus grand cercle et de compter les abscisses positives dans le sens AB, et par conséquent de prendre d positivement-, alors, les deux premiers facteurs sont positifs. Pour que / soit réelle, il faut que l’on ait à la fois
R-t-r — rf^>o, d -y r — R o
JR-t-r — d <^o, d + r — R <[ o ;
les deux dernières inégalités ne peuvent être admises, puisqu’un les ajoutant membre à membre, on trouve i r<f o.
On tire des deux premières :
ce qui conduit à ce théorème connu : Pour que deux cercles se coupent, il font et il suffit que la distance des centres soit plus petite que la somme des rayons, et plus grande que leur différence.
Pour qu’il y ait contact, il faut que les valeurs de / se réduisent à une seule, ce qui exige que la quantité sous le * radical soit nulle; cette dernière condition sera remplie quand ou aura
R -f- r — d = o , ou d y- r — R = o , ce qui revient à
d — R 4- r, ou d — R — r.
Donc , pour que deux cercles se touchent, il faut que la distance îles centres soit égale à lu somme des rayons, ou bien égede il leur différence ; élans les deux cas, le point de contact est sur la droite des centres , ,
Les valeurs dey sont imaginaires lorsqu'on a R-4-r — rf<o, où d-\-r — R<^0, ee qui revient à . • ' ' ' .
rf]>R + r, ou f/ <[[ R — r;
donc , quand la distance des centres de deux cercles est plus grande que la somme ou plus petite que la différence des rayons, ces deux cercles n’ont aucun point commun.
Si l’on suppose, en même temps, R == r, d= o, les valeurs de
x et dey se présentent souS la forme ^ •, en effet , les deux cir- •
conférences ayant le même. centre et le même rayon, doivent avoir. tous leurs points communs.
De la tangente et de la normale au cercle.
61 . On nomme tangente à une courbe en un point donné M [fig. /\ t) la limite MT vers laquelle tend la direction d’uue.sécantc MS, que l’on, fait tourner autour de ce point, jusqu’à ce qu’un second point M' d’intersection se rapprochant indéfiniment du premier vienne coïncider avec lui.
Le cercle étant rapporté à deux axes rectangulaires qui passent par le centre, proposons-nous de mener à cette courbe une tangente en un point donnée
Soit M le point de contact dont nous représenterons les coordonnées par 'x',y'\ menons parce point une sécante SM' M , et désignons par x", y", les coordonnées du point M'. ‘L’équation de la sécante sera de-la forme
Les points M, M/ étant sur la circonférence qui a pour
~ DU CERCLE
équation j*4- x’ = /•*, on aura
y^-yx'-=r\ yu'-hx"'=zr>.
Déterminons la valeur du rapport"-; — ~ d’après-la condition
déjà exprimée, que les deux points M, M' se trouvent sur la circonférence; à cet cfiet, retranchons membre à membre' les deux dernières équations, il viendra
ou
ce qui donne
l’équation de la sécante est alors
Lorsque le point M' se confond avec le point M , on a .
et on obtient pour l’équation de la tangente au point M,
Faisant disparaître le dénominateur y\ effectuant la multiplication par x’ et remplaçant y’* -f- x'* par /•*, on arrive à l’équation plus simple
ÿy -b xx' = r\
O11 peut facilement reconnaître qùe cette dernière équation appartient à une droite qui n’a de commun avec la circonférence que le point dont les coordonnées sont .r', y' .
En effet , si on prend les équations
(1) yy-f-x'x = rs,
en multipliant les deux membres de la première par 2 , puis la retranchant membre à membre delà seconde équation , il vient
Ajoutant de part et d’autre y* -+-x*, on a
Or, pour toutes les valeurs de y et de x différentes de y ', x\ le premier membre est positif; par suite, on a
Comme yt-hx* représente le carré de la distance d’un ‘pointquelconque.de la droite à l’origine, on en conclut que tous les points de cette ligne, excepté celui qui a pour coordonnées x',y', sont extérieurs au cercle.
02. La méthode qui vient d’être employée s’applique au cas où le cercle est rapporté à des axes quelconques. Soit l’équation.
(1) {y — 6 )*— f- (x — 2 [y — 6) (x — a) cos 0 = r’.
Désignons toujours par x' , y\ les coordonnées du point de contact M.
En représentant par x",y", les coordonnées d’un second point M' de la circonférence , l’équation de la sécante SMM' sera de la forme
En exprimant que les points M, M' sont sur le cercle, on
DU CEIICLE.
a les équations ,
(y' — §}’-+- (x'— a)J + 2(y— ë)(x’ — a)cos9 = r\ (y"— ëf -4- ( x" — a y -b 2 (j r" — 6 ) (x"— a j cos 9 = r3.
Retranchant membre à membre, il vient
y'' — y 2ë(y'—y") -b x'1— x"5 — 2a(x' — x") ; — 2 a cos 0(y'^y") — 2 S cos 9 (x' — x") •
-+- > cos 9 ( y' x’ — y" x" ) — o.
Le dernier terme
. revient à
2 cos 9 [/' ( x' — x" ) -+- x" ( y ' — y"' ) ].
L’équation (A) peut être mise sous la forme
(y1 —y") (y1 -h y" — 2 S — 2a cos 9 + 2X" cos 9)
-+- (x' — x")(x'+ x" — 2 a — 26 cos 9 -t- 2 y' cos 9) = O.
Un eu tire -
y' — y" x1 -b x" — 2 a -b 2 cos 9 (y' — ë)
' x'— x" y' -b y" — 26 2 cos 9 (x" — a)
L’équation de la sécante SMM' est alors
x'-f-x" — 2a + 2 cos 9 (y' — 6)
^ y1 + y" — 26 -t- 2COS 9(x" — a) ^
Si l’on suppose que le point M' coïncide avec M, on aura
x == x , y • = jr , -
et 1 équation de la tangente sera (B) >- ^-a + cos6(/-e)
y' — 6 -H cos 9 (x' — a J ^ en joignant, toutefois, à cette équation, la condition
(y' (x' — a)3 2 (r' — S) (x' — a)cosû = r~‘
Quand les axes sont rectangulaires, l’équalion de la tangente est
y-y =-yzrsSx-xï'
gn supposant .qu’on a
(y' — 6), + (x,-a)3=rJ.
Les deux équations précédentes peuvent être mises sous la forme *•
(7'— S) ( 7' — 6) 4- (•*'— a) (*' — a) = r7 En les ajoutaut membre à membre , on obtient
pour équation de la tangente. Lorsque le centre du cercle est sur l’axe des abscisses , l’équation devient
03. Proposons-nous maintenant de mener au cercle une tan-genle par un point extérieur.
Soient x" .y"\ les coordonnées du point donné N [fig- 42) • Si l’on représente par x', y\ celles du point de contact, l’équation de la tangente sera
y' y -+- x1 x — rJ.
Pour trouver j', x\ on exprimera d’abord que le point donné appartient à la tangente, ce qui donnera l’équation
O11 aura eh outre
pour exprimer que le point demandé est sur la circonférence. . . ■ . '
DU CERCLE
On tire de l’équation (i),
cette valeur, portée dans l’équation (2), donne
(r"»+a."«)xn 2r.x«x/f: r’(r7—/'>) = o.
La résolution de cette équation conduit à
rf <J y "* -f- x"> — r’
On obtient pour les valeurs correspondantes de y\
, r?jr" i rx" \J y"' -h x"5 — r 1
Lorsque le point donné est extérieur au cercle , on a y"1- t-x"> >r’';
les valeurs de x' et de^' sont réelles et inégales , et le problème a deux-solutions.
Si le point donné est sur la circonférence, on a
■ y*'+-x"*=r*it
les deux systèmes de valeurs de x', y' se réduisent à uu seul , et il n’y a plus qu’une tangente.
Dans le cas où le point est intérieur au Cercle , on a
les valeurs de x' et y' sont imaginaires, et le problème est impossible.
Il est facile de retrouver la construction qu’indique la géométrie élémentaire pour mener une tangente au cercle par un point extérieur.
Reprenons encore les équations
dans lesquelles uous regarderons comme des variables les coordonnées inconnues x', y' du point de contact.
En soustrayant la première de la seconde, et en complétant les carrés, on trouve
équation qui représente visiblement une circonférence dont .
les coordonnées du centre sont ’— , —, et qui a pour rayon
Puisque les coordonnées du point N sontjy", xn ,
celles du point O, milieu de AN, ont pour valeurs —, — •
D’ailleurs \Jy tti -+- x"1 représente la distance AN; donc les points de contact sont sur une seconde circonférence ayant pour diamètre la distance du centre de la première au point donné.
On voit srds peine que, i°. si le point donné N est extérieur, la circonférence décrite coupera la première; 2°. si le point est pris sur la première circonférence, la seconde -sera tangente; 3°. que les deux circonférences sont intérieures l'une à l’autre, si le point donné est dans le cercle proposé.
04. On peut résoudre autrement le problème dont il s'agit. En considérant toujours les deux équations
y"y'+xnx'=r\
si on y regarde encore y, x', comme des variables , la seconde de ces équations représentera le cercle donné , et la première, une ligne droite que nous déterminerons en cherchant scs points dé rencontre avec les axes; en faisant suc-
DU CERCI.E.
cessivdment o, y' = o, ou
expressions faciles à construire.
La valeur AT == — {fig- 4^) étant indépendante de y" ,
il en résulte que le poiut T ne doit pas changer, quelle que soit la position du point N sur ]$ droite N'N/7 perpendiculaire à l’axe des x. Cette droite ]V W peut être regardée comme située d’une manière quelconque dans le plan du cercle, puisqu’on peut toujours prendre pour axe des x la perpendiculaire abaissée du centre sur cette droite. On est conduit alors au théorème suivant qui a son analogue dans les trois courbes du second degré :
Si de chacun des points d’une droite donnée sur le plan d'une circonférence , ou mène des tangentes à cette courbe , et qu’on joigne les deux points de contact, toutes les lignes de jonction se couperont en un même point.
11 est visible que si la distance AT ne change pas , x" reste le même; on conclut de là cette proposition réciproque :
Si par un point, T, pris sur le plan d'un cercle on tire différentes sécantes à ce cercle , et que par les points où chaque sécante coupe la circonférence, on mène deux tangentes , le lieu des points de rencontre de ces tan- gentes, prises deux à deux , sera une ligne droite.
• . 65. Dans une courbe quelconque , on nomme sous-tan-, gente la partie de l’axe des x comprise entre le pied de . l’ordonnée du point de contact et le point où la tangente coupe ce même axe des x.
D’après cette définition , la sous-tangerite est ici la distance TP [fig . 4 1-) - On en obtient la valeur en faisant
y4 CHAPlfKE CINQUIÈME.
y — o dans l'équation de la tangente
et en retranchant de la valeur de ’x correspondante à cette hypothèse ^ l’absçiSse x' du point de tangence. On trouve alors ; »
* * r1 jrr*
