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expression qui peut passer par tous les états de, grandeur, en faisant varier x' de r à — r. *

156. On appelle normale à une courbe quelconque, la droite menée par le point de contact perpendiculairement à la tangente. La sous-normale est la partie de l’axe des x , comprise entre le pied de l’ordonnée du point de contact et le point où la normale coupe ce même axe. des x.

En désignant toujours par x\ les coordonnées du point de tangence, l’équation de la normale sera de la forme

Comme cette ligne doit être perpendiculaire à la tangente, on aura la condition

ce qui conduit à l’équatiop si l’on effectue les réductions , on obtiendra

La normale passe ici par l’origine qui est le centre du cercle ; on retrouve cette proposition connue : le rayon mené au point tle contact 'est perpendiculaire à la tangente.

DU CERCLE

Problèmes et théorèmes sur le cercle et la ligne droite.

67. Mener par un point pris sur le plan d’un cercle, une sécante telle que la partie comprise dans ce cercle soit égale à une ligne donnée. ■ ■ ^

Soient x',y' les coordonnées du point donné M, et. un la longueur de la corde. L’équation de la droite cherchée ■ sera de la forme ,

(1) y — y'=za(x — x').

En rapportant le cercle à deux axes rectangulaires passant par le centre , son équation sera

si l’on désigne par x et y les coordonnées d’un des points de rencontre de la droite avec la circonférence, ct'si l’on représente par z la distance de ce point au point M, on aura l

Si dans l’équation (3), on remplace y —y' par sa v tirée de f équation (1), il vient

z1= 1) (x — z')2, d’où x — x' — - — ■

et , par suite ,

aleur

en tirant de ces deux dernières équations les valdiirs de x et de y, et en les portant dans l’équation (2), on a *

Si l’on avait la valeur de a, qui convient à la positioh.de la droite cherchée, la différence des racines del équation (4)

-g 6 'CHAPITRE CINQUIÈME. .

représenterait la partie de cette droite comprise dans le cercle. D’après cette proposition , nous allons égaler à am la différence des racines de l’équation dont il s’agit; en la résolvant, ou trouve

— ( ar ' -t- x')± aÿ 4- x' )3 — (y ' 3 -4- x' 3 — r J ) ( a1 ■+■ 1 }

ja1- (- 1

La demi-différence des racines est

/{af + x' Ÿ — t-x'a — rt)(a,+ 1) .

on a alors, d’après l’énoncé, l’équation

^/(gj'+x'

d’où l’on déduit

(ay'+ x')3— (/"-t- x'3 — r3){«3-+- 1) = /«3(rt3+ 1).

Lé problème conservant sa généralité lorsqu’on fait passer l’axe des x parle point donné, nous supposerons^^ o, il viendra

En effectuant les calculs indiqués, on arrive facilement à l’équation

rt3(/«3-4- x'3 — r1) — r3 — ni1,

qui donne

» • — ni1

Cette expression prouve que m ne doit pas surpasser r, c’est-à-dire que la corde donnée ne doit pas être plus grande que le diamètre: en supposant m<[r, et le point donné extérieur au cercle, les valeurs de a sont réelles; pour les construire, décrivons une circonférence sur le rayon AD

ni CÈRCI.E.

{ fi g- 44) comme diamètre, et portons la rordc.DO nous aurons

AO = y/r3 — in*.

Traçons ensuite une seconde circonférence ayant pour diamètre AM — x' et prenons la corde AI = AO; la valeur du second radical sera représentée par MI : la' tangente de l’angle AMI ayant pour expression

AI v/cT— m1 MI y/x'3 — (r* — m*)

on aura

a — tang AMI.

La tangente de l'angle IMX sera .

y/73 — ni1

En menant au-dessous du diamètre la sécante MB'C', de manière que l’angle AMI' = AMI, la tangente de AMI' sera la seconde valeur de «..On aura donc pour réponse à la question les deux droites MBC , MB'C'.

Si le point donné M est intérieur, le second radical n’est réel qu’autant que m est au moins égal à y //•* — x'*, ce qui apprend que la plus petite corde que l’on puisse mener par un point donné dans un cercle, est celle qui est perpendiculaire au diamètre passant par ce point.

En imitant la construction exécutée précédemment, on trouvera encore deux cordes pour solution du problème. Lorsque ni est nulle, chaque sécante devient tangente, et'

les valeurs de « se réduisent à rt: - Si le point donné

est intérieur au cercle , x' est plus petit que r, et les valeurs de a sont imaginaires. L’hypothèse x'= r donne a — oc , ce qui doit avoir lieu dans ce cas.

y8 CHAPITRÉ CINQ! IÈME.