Mener une tangente commune à (leux cercles
Soient ■
y 1 -f- .r* = RJ, y7 4- [x — ri)1 — r1,
les équations des circonférences données (Jig. 45)., L’équation de la tangente commune FC peut être nijse sous la forme
b, c, étant l’ordonnée et l'abscisse à l’origine. Nous allons chercher ces deux quantités, en exprimant que la droite
■j- - = i est tangente à chacun des cercles. L’équation
de la tangente au cercle A , en un point quelconque (xl. y1), est
yy' + xx' = r»,
avec la condition
En supposant successivement y — o, ,r== o, on obtient
tV-
Si l’on égale ces valeurs à c et A, il vient
,ces dernières valeurs, portées dans l’équation (C), conduisent à
ce qui établit une première relation, entre les inconnues b , c.
L’équation de la tangente au cercle B, au point t7), est, comme on l’a vu,
( D) / y -4- (x' — r/) (x — ri) — r %
avec la condition
(E) — ri)1— r1. y . ,
I>u CF.UG1.F.. QQ
. Le; s liv pofbeses ) = n, r =' n, faites dans l'équation (D), donnent *
En égalant la première valeur à r — r/, et la seconde à b, on a les équations
desquelles on tire • - »
b b [c — rf) ’
en remplaçant x' — d par sa valeur.
Mettant ces valeurs de x — d et y' dans I équation (E), on obtient, entre les inconnues b , e, la relation
En divisant membre à membre les équations (2), (r), il vient
r1 (c — dy
d’où l'on tire
L’équation (1) donne
rR
Pour construire la première valeur de c, on mène les rayons parallèles AG, BH, on joint les extrémités G, H par la droite GH, que I on prolonge jusqu’à sa rencontre en C , avec la ligne des centres ; les deux triangles semblables AGC, BHC donnent ,
ac: bc:: ag: bii, ou ac:ac— bc:: R:r— r- •
AC — BC — c/;
IOO
Si l’on prolonge le rayon I5H jusqu’à rencontre en H' avec la circonférence, et qu on joigne les points H', G, ou aura (fig. 45)
ac' : c' B : : ag : mr , on ac' : ac' + c b : : r : r + r, et comme AC/-t- C'B = d , il en résulte •
Quand les cercles sont extérieurs l’un à l’aulre, on a
• et , à fortiori ,
Les deux valeurs de c étant alors plus grandes que R, les
valeurs de b sont réelles; et comme à .chaque valeur de c correspondent deux valeurs de b , le problème admet quatre solutions.
Si les cercles se touchent extérieurement , d = R r, la première valeur de c surpasse R, et la seconde est égale à R; dans ce cas, la question a trois solutions.
Quand les cercles se coupent, ou a, à la fois,
. rf<R-t-r, rf>K— r;
alors, la première valeur de c l’emporte sur R , et la seconde est moindre que R ; celle-ci donne pour b des valeurs imaginaires, et le nombre des solutions se réduit à deux. Lorsque les cercles se touchent intérieurement, On a
îl — R— r ,
et , par suite , d est moindre que R -f- r. J. a première valeur de c est R , et la secoude est plus petite que R ; celle-ci donne •
DU CEtlCLE.
loi
pour b des valeurs ‘imaginaires, l'aulre rend b égal à l’infini : elle est seule admissible, et alors le problème n’a qu’une seule solution .
Enfin , la question est impossible lorsque les deux cercles sont intérieurs l’un à l’autre; car, les valeurs de ç étant moindres que R, celles de b sont imaginaires.
Ou voit facilement ce «pii arriverait si les deux cercles avaient des rayons égaux.
t>9. Trouver le lieu géométrique des points dont la différence des carrés des distances à deux points donnés soit égale à un carré aussi donné.
Soient C, D, les deux points donnés (Jig. 4b)- Prenons pour axe des abscisses la droite qui joint ces deux points, et pour axe des ordonnées la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite. Eu nommant y , x , les coordonnées •m de l’un quelconque, M, des points demandés, id la distance CD des deux points, et m' le carré donné, on aura
MC^y' + jjî + rf)’, MD' = /+(rf — x)’, et, par suite,
y* 4- (ar 4- d'y — jr* — ( d — j)3=. /«'.
Effectuant les calculs et réduisant, on obtient
ffl J
4 d.v — m' , d’où .r = ;
4 ll
- le lieu demandé est donc une parallèle à l’axe des y.
Cette valeur de x est une troisième proportionnelle à d
et —
Il est visible que la perpendiculaire P'M' élevée sur AX, au point P', à la même distance de A que le point P, doit être regardée comme une réponse à la question.
