DG = AD

Le carre de AG sera égal à 2 d*. Au point A sur AG , nous mènerons la perpendiculaire AN , et nous décrirons du point G avec in pour rayon un arc de cercle rencontrant celte ligne au point H; le carré de AH aura pour valeur nd — 2 d*. Enfin, nous élèverons au point H sur AN la perpendiculaire UK. = AH, et le carré de AK égalera

•• 2 (ni1 — 2 ri1).

Le rayon du cercle sera doue égal à la moitié de la droite AK .

Pour que le problème soit possible, il faut que ni soit au moins égal à t/y a. La valeur de ni peut d'aiHeurs être aussi grande que l’on voudra.

. Si nr = 4tl\ le rayon est égal à <7, et, par conséquent , le cercle qui répond au problème a pour diamètre la distance des deux points donnés.

7 1 . Trouver le lieu (le tous les points desquels on peut, mener tics tangentes égales à deux circonférences donnèes.

, ' Soient x et y les coordonnées rectangulaires de l’un des points demandés; (a, 6), (a', g') celles des centres des deux circonférences données ; r, /''les rayons de ces courbes,

. et t la longueur commune des tangentes.

On aura :

Si Ion retranche ces deux équations membre à membre l'indéterminée t disparaîtra, et l’équation résultante sera

le lieu demandé- est donc une ligne droite perpendiculaire

Qûbÿ0f)ogIe

sur la ligne des centres ; on l’appelle axe radical des deux circonférences.

Nous ferons remarquer que celte équation est celle qu’on obtiendrait en retranchant membre à membre les équations des deux circonférences données

Si I on représente par A — o , B = o, les équations des . deux cercles, l’équation (1) sera remplacée par A — B = o. Or, cette dernière équation étant vérifiée par, les systèmes qui satisfont en même temps à A = o , B = 6, représente la ligne qui passe par les points communs aux deux circonférences lorsqu’elles se coupent. Donc,jcette ligne n'est autre chose que la corde commune indéfiniment prolongée.

Les axes radicaux de trois cercles concourent en un même point qu’on nomme leur centre radical. En elle t , si l’on représente par A =o, B = o, C = o, les équations de trois circonférences , celles de leurs axes radicaux seront

L'équation

étant la différence des deux précédentes, la droite qu’elle représente passe par le point d’intersection des lieux de ces dernières.

Le théorème est donc démontré.

On déduit de ce qui précède un moyen simple de construire Taxe radical de deux circonférences qui ne se rencontrent pas. Il sullit pour cela de les couper toutes deux par une circonférence auxiliaire, de prolonger les cordes communes jusqu’à leur rencontre, et d'abaisser du point d’intersection une perpendiculaire sur la droite qui passe par les centres.-

m; cercle* ioT»

72. Nous allons donner les énoncés de quelques problèmes à résoudre.

Problème I. — Trouver le lieu des points desquels menant des tangentes à deux cercles donnés, le rapport de

ces tangentes soit constamment égal a — •

Problème II. — Deux circonférences concentriques étant données, on mène par les différents points de la plus petite • des tangentes que l’on termine à la seconde, et par les extrémités on conduit des tangentes à celle-ci : on propose de trouver le lieu des points d’ intersection de ces dernières tangentes.

Problème III. — Trouver la ligne décrite par le sommet d’un angle droit dont les côtés sont toujours tangents à une circonférence donnée.

Problème IV. — Faire passer un cercle par trois points donnés.

Problème V. — Faire passer par deux points donnés un cercle tangent à une droite donnée.

Problème VI. — Trouver le lieu des points dont les distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné.

Problème VII. — Trouver la ligne décrite par le milieu d'une droite d' une longueur donnée, qui se meut dans un angle droit de manière que ses extrémités restent sur les côtés de cet angle.

Problème VIII. — Trouver le lieu des points qui divisent dans un rapport donné les lignes menées d’un point fixe aux différents points d'une circonférence.