DE LA TRANSFORMATION DES COORDONNEES
73. En rapportant le cercle à deux axes obliques "quelconques, nous avons trouvé pour cette courbe une équation • assez compliquée; mais , en faisant un autre choix d’axes, on a pu simplifier l'équation et la réduire à trois termes : on conçoit, d’après cela, que l’équation d’une courbe doit être plus ou moins simple, selon le systèmed axes auxquels on la rapporte.
D’une autre part, il peut arriver que l’on connaisse l’équation d’une ligue rapportée à un certain système d’axes, et qu’on ail besoin de trouver l’équation de cette même ligue rapportée à d’autres axes. La question sera résolue quand on connaîtra , pour un point quelconque de la ligue, les valeurs des coordonnées anciennes en fonction des nouvelles, puisqu'il n’y aura plus alors qu’à substituer ces valeurs dans l’équation primitive. C’est en cela que consiste le problème de la transformation des coordonnées.
Formules pour la transformation des coordonnées.
74. Supposons d’abord que ics axes conservent la même direction, et qu’on déplace seulement l’origine. Soient A' (Jig. 48) la nouvelle origine, et A'Y', A'X' les nouveaux axes; les coordonnées primitives d’un point quelconque M seront AP et PM, et les nouvelles coordonnées A'P', P' M. On a évidemment
AP = AB -t- RP = AB 4- A'P',
PM = PP' -t- P'M ±= A'B -+- P'M.
ITtA KSFOHM Aï ION DKà GOORI>OftRÉES«
Faisons AB = a , A' B =?; b : désignons par < r\ les nouvelles coordonnées du point M , on aura alors , *>
Ces formules serviront à remplacer deux axes quelconques par d’autres axes parallèles aux premiers.
75. Résolvons maintenant la question générale, c est-àdire changeons à la fois l’origine et la direction des axes
(/'fl *49)-.
Soient AX , A Y, les gxes primitifs formant entre etix un angle quelconque 6 ; A'X', A' Y', les nouveaux axes. Menons par l’origine A' les droites A'K , A'H , respectivement parallèles aux axes AX, AY. La position des nouveaux axes est déterminée par les coordonnées dé la nouvelle origine et par les angles qu’ils forment .avec l’axe AX , ou avec la parallèle A'K. à cet axe.
Nous ferons
AB = a , BA' — b , K.A' X' = * , RA'Y'=
Pour un point M quelconque, les anciennes coordonnées sont AP, PM, et les nouvelles A'P', P'M. Par le pied P' de la nouvelle ordonnée du point M, menons les parallèles . P'I), P' F aux axes primitifs'AX , AY. Nous aurons
x = AP= a y- BF -+- FP = a -H- A'E + P D, y = PM = PN + DN -h MD = b y- P'E -+- MD.
Le triangle A' P' K donne, par une proposition connue,
, A'E sin A' P' K P'E sin P' A'E
A' P' ~ sin A'EP' ’ A' P' “ sin A' EP' '
De même, le triangle P'DM conduit à
P'D sinP’MD MD sinMP'D
MF sin MDP' * ' MF “ sin MDP ’ •
Io8
Mais, il après les notations précédentes, ou a
A'P'=j:', MP' = y', sin A'P'E = sin (8 — a), sin A'EP' = sin (i8o° — 0) = sin 0, sin P/ A' E = sin a , sin P' MD = sin (0 — a'), sin MDP'= sin (i8o° — 0) = sip 0,
. sin MP'D = sin a'.
On obtient alors
A>E = -c!-8i",(»-?)> FE = ^i^,
sin'0
sin 0
Sin 0 cin fi '
sin 0
d’où
x' sin (0 — «) + y ' sin / 0 — a')
sin 0
I , x' sin a -h Y sin a
Telles sont les formules générales de la transformation des coordonnées rectilignes.
Çes formules sont rarement employées; nous allons eu déduire celles dont on fait ordinairement usage.
, 7(1. Pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques , on suppose
pn a alors
x = a ■+■ x’ cos a H- y' cos a', y = b -J- x‘ sin a -f-y' sin a'.
77. Pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un autre système de coordonnées aussi rèctangulaires, on suppose à la fois
