Les formules trouvées précédemment ne renfermant

les variables qu’à la première puissance, quand on portera les valeurs qu’elles fournissent dans l’équation d'une courbe, le degré de cette équation restera le même. On voit d’abord qu’il ne pourra pas s élever; il ne pourra pas non plus diminuer, puisque, s’il en étail autrement, en revenant delà seconde équation à la première, le degré de l’équation s’élèverait. -t .

82. Dans certains problèmes, les quantités u, b, a, a' sont données; dans d'autres, ces mêmes quantités sont indéterminées, et l’on profile de cette indétermination pour lairc disparaître quelques-uns des termes de l'équation d’une courbe. ' *

LIGNES DU SECOND ORDRE

Division des lignes du second ordre en trois genres. ,

83. ÎSous avons vu (n°* 33... 37) que toute équation du premier degrç a pour lieu géométrique une ligne droite, et réciproquement , que toute droite est représentée par une équation du premier degré. II résulte de là qu'une équation à deux variables d’un degré supérieur au premier, doit représenter, en général, une ligne courbe.

D'après ce que nous avons dit (n° 31) relativement à la classification des lignes algébriques , nous sommes condnils à chercher les courbes qui peuvent être représentées par l'équation du second degré. .

L’équation la plus générale du second degré à deux variables est

(.i) A/’ -+- B xy -H Cx* Dy •+• E* -+- F = o.

Lorsque A n’est pas nul, en la résolvant par rapport à y.

Bi D 2 A 7. A

4AC).r’-4- 2. (BD — 2 AE) .* H- D:— 4 AF’

A .2 A Soient^ pour abréger,

B' — 4 AC = n , BD

2AE=/y, D’ — 4 AE= tf ;

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LIGNES DU SECOND ORDRE

l’équation (a) deviendra

y = ax b ifc — - dnx' -1- 2px -+- </.

Les deux valeurs de y ont une partie rationnelle com- Biunff'ax + i, qui est l’ordonnée d’un point quelconque d’une droite dont l’équation est

(3) . y — ax -y b.

Pour trouver les points déterminés par l’équation (1), on construira d’abord la droite HH' (Jig . 5i), représentée par l’équation

y = ax -+- b.

Pour une abscisse quelconque AP, l’ordonnée de la droite étant PF, on devra- porter de part et d’autre du point F, en L et L', des longueurs égales à la valeur que prendra le radical

— - V nx ’ + *px -t- 17.

F,n répétant la même construction pour toutes les valeurs de x , qui font prendre au radical des valeurs réelles, on aura les différents points de la ligne représentée par l’équation (t).

La droite HH' jouit de la propriété de diviser, en deux parties égales , toutes les cordes parallèles à l’axe des y ; à cause de cette propriété, la ligne HH' est nommée diamètre. On donne généralement le nom de diamètre au lieu géométrique des milieux d’une suite de cordes parallèles menées sous une direction primitive quelconque.

Pour abréger, nous ferons

Y = — - \jnx‘ 4- 2 px -y <i ,

et nous dirons que Y est l 'ordonnée comptée à partir du diamètre. . . .

Il4

Oii démontre en algèbre que pour un trinôme, tel que ni' -f- 2 px -4- q ,

et même pour un polynôme cfc la forme . *

g.r" -t- hx*—' -+- /■ x”-’ * «

on peut toujours assigner à x une valeur positive et une valeur négative, telles que les valeurs positives et négatives plus grandes donnent, pour ce polynôme, des résultats de même signe que le premier terme; on démontre, en outre , qu’en faisant croître x, positivement ou négativement jusqu’à l’infini , les valeurs absolues du polynôme augmentent elles-mêmes jusqu’à l’infini. D’après cela, à partir de certaines valeurs de x positives ou négatives, les valeurs du trinôme nx* -I- 2 px 4- <7 seront de même signe que nxl, .et comme x * est toujours positif, puisqu’on n’attribue à x • que des valeurs réelles, le signe des résultats sera celui de n ou de B* — 4 AC.

Lorsqu’on a

B’ — 4 AC<o,

il existe des valeurs de x au delà desquelles, la quantité sous le radical étant négative, l'ordonnée Y est imaginaire; et comme les valeurs de x pour lesquelles Y est réel , ne peuvent jamais fournir qu’une valeur finie pour cette ordon-j née, il en résulte que la courbe représentée par l'équation (1) est limitée dans le sens des abscisses positives et dans celui des abscisses négatives, et quelle l’est également de part et d’autre du diamètre. Celte courbe , limitée dans tous les sens, a été nommée ellipse. », »

Quand B* — 4 AC est positif, il existe des valeurs positives et négatives de x au delà desquelles l’ordounée Y est toujours réelle; d’ailleurs, cette ordonnée peut croître jusqu’à l’infini; par conséquent, la courbe que l’équation (1) '

LIGNES 1JU SECOND ORDRE

représente est illimitée dans tous les sens : on lui donne le nom (Y hyperbole.

Enfin , lorsque

R1 — l\AC = o,

Y se réduit à

\ji.px -+- q .

Si p est positif, x pourra recevoir des valeurs positives aussi grandes qu’on le voudra: mais, en attribuant à x des valeurs négatives, Y pourra devenir imaginaire. La courbe est donc illimitée dans le sens des x positifs , et limitée du côté des a: négatifs. Le contraire a lieu lorsque p est négatif. Il résulte de là que, dans les deux cas , la courbe ne s’étend à l’infini que dans un seul sens. Cette courbe se nomme parabole.

Nous parlerons plus tard du cas où p est nul. On peut voir déjà que , le terme en x disparaissant sous le radical , l'équation ne peut plus représenter une courbe, puisqu’elle Rabaisse au premier degré.

Ce que nous venons de dire conduit à établir trois genres de courbes du second ordre.

Quoique nous ayons supposé coinplèted’équation du second degré, il est facile de reconnaître, comme nous allons le faire voir, que dans le cas où il manque quelque terme, ou ne peut rencontrer d’autres courbes que celles dont nous avons parlé. Lorsque A = o, et que C n’est pas nul , en résolvant 1’équaJ.ion (r) par rapport à x, on a-

± -î-, v/B’ir’ -I- 2 ( BE — ?. CD )/ + E’ — 4 CF •

En supposant B Aillèrent de zéro, le premier terme B'y’ de la quantité placée sous le radical est toujours positif. Alors,

en raisonnant comme précédemment, on verra que la courbe est illimitée dans tous les’ sens. Cette courbe est. donc du genre de l’hyperbole. •

Si l’on a , à la fois, A = o, B = o, en résolvant l’équation % par rapporta x, on reconnaît facilement que la courbe doit être comptée parmi les paraboles.

Lorsqu’on a A = o,C = o,B n’étant pas nul , l’équation du second degré devient * •

Bjc/+D/ + Ej + F=o.

Et, comme elle est du premier degré par rapport à chacune des variables, en donnant à l’une quelconque de ces variables des valeurs aussi grandes que l’on voudra , les valeurs de l’autre seront toujours réelles : la courbe s’étend donc à l'in(ini dans tous les sens, et doit être rangée parmi les hyperboles.

Tl résulte de ce qui précède qu’il n’existe que trois genres de courbes du second degré : i°. les ellipses, qui sont des courbes limitées dans tous les sens et pour lesquelles on a

B’— 4AC<o;

2°. les hyperboles , qui sont des courbes jlümitées dans tous les sens et pour lesquelles on a '<

B’-4AC>ot

3°. les paraboles, qui sont des courbes illimitées dans qn sens et limitées dans l’autre ,' et pour lesquelles, on a

jp- 4Kot^i .* t ^ . ; »

Nous allons actuellement examiner en particulier chacun de ces trois genres dé Courbes.

v Discussion'de l’ellipse. v ' • •

. B1 — 4 AC < o. . ;*•