A OU

y = ax + b±±

Soit H' H (/ï#. 5i) le diamètre dont l’équation est

Pour les points où cette droite est rencontrée par la courbe, l’ordonnée Y est nulle; on aura donc les abscisses de ces points, en posant

Nous désignerons généralement les racines de cette équation par ,r', x", ces racines pouvant être réelles et inégales, réelles et égales , ou imaginaires. Nous, examinerons successivement ces trois cas.

Premier cas.. — Quand les racines x', x", sont réelles et inégales, en les supposant, pour fixer les idées, -toutes deux positives, et eu regardant x" comme la plus grande, on prend AP'=x', AF=x", on tire des parallèle^ P' K', P" K", à l’axe des Y: les intersections K', K", de ces droites avec H' H sont les points où la courbe rencontre ce diamètre.

En désignant toujours par Y l’ordonnée comptée à partir du diamètre H' H, on a

Comme

— TjT*—

l’expression précédente peut être remplacée par

Cela posé , de x — o à x = x', le facteur x — x' est négatif, et x" — x positif ; par suite, les valeurs de Y sont , imaginaires : donc, il n’existe aucun point de la courbe entre l’axe des Y et la parallèle P' K' à cet axe, menée à la distance x' comptée sur Taxe des x. » • .

De P' à P", les valeurs de x étant comprises entre x' et x ", les facteurs x — x', x" — x sont positifs, et les valeurs de Y’ sont réelles. Chaque valeur attribuée àx, entre ces deux limites, donne deux points de la courbe.

Au delà de P", les facteurs x — x', x" — x étant" l’un positif, l’autre négatif, les valeurs de Y sont constamment imaginaires. La courbe n’a donc aucun point au delà de la parallèle P" K" à l’axe des y.

Pour toute yaleur négative de x, les facteurs (x — x') , (x" — x) ont des signes-contraires , et les valeurs de Y sont imaginaires. La courbe n’a donc aucun point du coté des abscisses négatives.

Cette courbe est placée entre les parallèles P'K'", P"K"; et comme les valeurs de x, pour lesquelles l’ordonnée comptée à partir du diamètre est réelle , ne peuvent rendre cette ordonnée infinie, il en résulte que la courbe est aussi limitée de part et d’autre du diamètre.

Pour déterminer les limites de l’ellipse parallèlement au diamètre, nous ferons observer que la somme des facteurs variables placés sous le radical est égale à une quantité donnée x" — x'. Le maximum du produit (x — x') (x" — x)

LIGUES DU SECOND ORDRE. IIÇ

est alors j ' — r—— \ , ce qui donne — — ; pour le maximum de Y. Ou aura la valeur de x, à laquelle correspond ce maximum, en posant

d’où

jc *4" jc

Cette valeur de x est évidemment l’abscisse du point N, milieu de P’ P". Après avoir mené par ce point une parallèle indéfinie à l'axe des y , on prendra , à partir du point O de rencontre de cctteaparallèle avec le diamètre, des lon-

gueurs OG , OG égales à ■

? et on aura ainsi , eu

G et (4', les points les plus éloignés du diamètre. Si l’on conduit à cette dernière ligne les deux parallèles DE , D'E'. la courbe sera renfermée dans le parallélogramme DED'E' On peut encore obtenir d’une autre manière le maximum de l’ordonnée comptée à partir du diamètre.

Eu eilet, en ajoutant et retranchant, sous le radical, ~ i

on peut écrire

Sous cette forme, on voit immédiatement que le maximum de Y correspond à

Cette dernière valeur est égale à ,r-

N trouvé précédemment.

Si l’on prend , de chaque côté du point N ,

NQ' = NQ"= rr

et donne le point

on aura

AQ' = AN — NQ'= r,, AQ" Ss AN -+- NQ" =s £ + r.

Ces abscisses, mises à la place de x sous le radical, con- ■ duisent à la môme valeur pour Y. Donc , pour ccs abscisses , les ordonnées RM, RI, R'M', R'I', comptées à partir du diamètre , sont égales entre elles. On conclut aisément de cette égalité, que les triangles IRO , OR'M' sont égaux, et, par suite, que la ligne IOM' est une droite divisée en deux parties égales au point O. La distance r étant arbitraire , il en résulte que le point O divise en deux parties égales toutes les droites qui passent par ce point, et qui sont terminées à la courbe. A cause de cette propriété, le point O est nommé centre.

Si 1 ou détermine d’abord le diamètre, et si l’on donne des valeurs numériques aux quantités â, A,, x', x", en cherchant des points suffisamment rapprochés et en les joignant par un trait continu, on reconnaîtra que la courbe a la forme indiquée {Jig. 5i).

On peut voir que la courbe est concave vers 1© diamètre; car s’il en était autrement , une droite pourrait la rencontrer en plus de deux points.

Deuxième cas. — Lorsque les racines x', x", sont égales, on trouve

et la seule valeur de x , qui rend Y réelle , étant x', l’ellipse se réduit à un point dont les coordonnées sont

j r = x' , y = ux' -f b.

On peut reconnaître facilement que, dans le cas que nous

LIG K ES MJ SECOND ORDRE. 121

traitons, le prejnicr membre de l'équation proposée est la somme de deux carrés, *

En effet , on a

Multipliant par 2 A, et faisant passer dans le premier membre les termes indépendants du radical, on trouve

2 A y -+- Bx -+- D = ± <î (.r — x') ^ — 1 ; d’où • »>

(2 Av -+- Bx -+- D)’ -H (x — x'y=: o.

Troisième cas. — Enfin, quand les racines x', x ", sont imaginaires, le trinôme — â! x* ■+■ 2 px -+- q conserve le signe de son premier terme, quelque valeur réelle que l’on donne à x\ on ne trouve donc que des valeurs imaginaires pour Y. Alors il n’existe aucun point dont les coordonnées vérifient l’équation (1). Dans ce cas, on dit que cette équation n’admet aucune solution réelle, ou bien qu’elle représente une ellipse imaginaire.

Le premier membre de l'équation est alors la somme de trois carrés dont l’un est indépendant de x et de y.

Pour le prouver, nous ferons remarquer que l’équation

ayant scs racines- imaginaires, on a

ce qui donne

par suite, l'équation

devient

(aA y -+- B.r -h D)*4- ù 1 — £j V tf1 K’= o.

Le cercle est un cas particulier de l’ellipse, puisque cette première courbe est fermée et que son équation est du second degré.

Le cercle , le point et la courbe imaginaire sont ce qu’on nômme ordinairement les variétés de l’ellipse.

Discussion de l'hyperbole.

B *— 4AC>o.