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à zéro. En prenant

HD = HD = — Jx'lê",

la portion de courbe comprise entre l’axe des y et la parallèle P' K' à cet axe, aura la forme DK' D'.

De P' à P", les facteurs x — x', x — x", étant de signes contraires, Y est imaginaire. 11 n’y a donc aucune partie de la courbe entre les parallèles P' K', P" K". Au delà de P", les facteurs x — x', x — x" sont positifs, et augmentent jusqu’à l'infini. Cela détermine fine brauche EK" E' qui s’étend à l’infini dans le sens des x positifs et qui s’écarte de plus en plus du diamètre HK".

Du côté AX', x étant négatif, on fera x = — z ; l’équation (A) deviendra

Chaque valeur positive de z déterminera deux valeurs de Y

. égales el de signes contraires , et z augmentant jusqu a 1 infini , Y croîtra aussi jusqu’à l'infini. On aura alors deux a l'es d’hyperbole DG , 1Y G', qui s’étendront à l’infini du côté des ■ x négatifs, en s’écartant de plus en plus du diamètre HK". La courbe aura donc la forme indiquée (Jig . Si).

Second cas. — Quand les racines x', x " sont réelles et - égales, l’équation <

r = ax + b rfc — — Jlx — *') (x — x")

donne

Ce qui détermine deux droites GG', \ A J (Jig. 53) qui se coupent sur la ligne qui a pour équation y = ax -h b, au point dont l’abscisse est x'.

On voit facilement que le premier membre de l’équation du second degré est, dans ce cas, décomposable en deux facteurs rationnels du premier degré par rapport aux va-' riables x, y.

Troisième cas. — Quand les racines x ', x" sont imaginaires, l’hyperbole ne rencontre pas le diamètre, et le trinôme d’-r’rt- 2/)X-f-<7 restant toujours positif, quelque valeur réelle que l’on donne à x , le6 deux valeurs de Y sont toujours réelles. Chaque hypothèse faite sur l’abscisse donne deux points de la courbe , situés de part et d’autre du diamètre à la même distance de cette ligne. La courbe est donc formée de deux branches indéfinies situées l’une audessus, l’autre au-dessous du diamètre (fig- 54).

Le minimum de l’ordonnée Y est facile à calculer. En effet , la valeur de Y peut être mise sous la forme

Or, est une quantité positive, puisque les ta-

LICNES Dt SECOND ORDRE. 120.

dues x't x" sont, imaginaires} on aura donc le minimum cherche en posant