d’oii x
* .. * S (lie minimum a pour valeur
Enprenam
et en menant par le point P une parallèle à l’axe des y, qui rencontre le diamètre H' HL au point O, si l’on prend les longueurs 0K/, OK",- égales à -
2aV #
les points K', K| seront les plus rapprochés du diamètre.
Par des raisonnements semblables à ceux qui ont été faits (n°8£)ppour l’ellipse , .on reconnaîtrait que le point O , milieu de K'K" (fig. 5a , 54) , est un centre.
7 8b. On a vu (n° 83) que , A étant mil , mais B , C étant différents de zéro ,da courbe devait être rangée parmi les hyperboles. (Jette proposition arête établie en résolvant, l’équation par rapport à x. On pourrait construire la courbe, en suivant cette marche,;' mais comme la variable^ n’entre qu’à la première puissance, il est plus simple de résoudre' l'équation par rapport à. cette variable.
L’équation qu on dou discuter est • : ,
& •**' -, J R-O' + Cx!+ D y + Ei+F^ q> * *
On en tire - ' - *v * '■? ,
3'~ IJ x -Hlü 1 T J f
Si l’on effectue la division, on aura •*
y — ex -+- d -+-
en désignant les deux premiers termes du quotient par ex -+- d , et le reste par r.
Construisons d’abord la droite^ = ex d-, soit L' HGI, cette droite (fîg- 55). «
Pour avoir les points de la courbe, il faudra porter au-
dessus ou au-dessous de L'L, la valeur - , suivant
que cette valeur sera positive ou négative, puisque, dans le premier cas, l’ordonnée de la courbe sera plus grande que celle de la droite , et qu’elle sera plus petite dans le second. Pour simplifier la discussion, posons
Bi + D , V’
et pour fixer les idées, regardons comme positives les quantités r, B, D.
Pour x = o , on a
On prendra donc sur l’axe des y la distance ^
et le point K appartiendra à la courbe.
Si l’on fait croître x positivement de o à oc , V diminuera, en restant toujours positif, ''de — à o. A partir du
point K, la courbe se rapprochera indéfiniment de la droite .GL, sans jamais la rencontrer; oïl obtiendra alors un arc KR qui s’étendra à l’infini.
LIGNES DU SECOND ORDRE
Si l'on l'ail x — — z , on aura
el il suflira de donner «à z des valeurs positives pour suivre la marche de la courbe dans le cas où x est négatif.
En faisant croître 3 de o à le dénominateur O — Bz
diminuant, les valeurs de \ augmentent en restant positives. Ces valeurs doivent donc toujours être portées au-
dessus de U L; on voit d'ailleurs que , lorsque z = 5-» V devient infini. Il résulte de là qu’en prenant du côté des abscisses négatives AI — et en menant par le point I la parallèle NIN' à l’axe des y, on aura encore une droite de laquelle la courbe se rapprochera indéfiniment , sans jamais la rencontrer. L’arc d’hyperbole déterminé par les valeurs
de z comprises entre o et est R1V.
Lorsque z est plus grand que — et augmente, V est néga-
. tif et devient de plus en plus petit; les valeurs qu’il prend doivent alors être portées au-dessous de la droite LL'. En supposant, par exemple, z=AF, on obtient un point M de la courbe, la distance PM étant égale à la valeur de V. . On a, pour les valeurs croissantes de z, à partir de AF, l’arc MS qui se prolonge à l’infini , en se rapprochant indéfiniment de LL'. Si l’on revient de »
î=AF
ai = b’
les valeurs de V sont toujours négatives, mais augmentent numériquement jusqu’à l’infini. Ces valeurs déterminent l’arc MS' qui se rapproche indéfiniment de la droite NN', sans jamais la rencontrer. <
.1^8 » » CHÀP1TBE SEPTIEME.
Les droites LL', NN', à cause de la propriété dont elles jouissent de se rapprocher de plus en plus de la courbe sans jamais la rencontrer, ont été nommées asymptotes.
Dans l’écjuation
. V — Cxl — Ex— F
y Bx + D “»
nous avons supposé que la division donnait un reste; s’il en était autrement, on aurait
d’où
— Ci’ — Ex — F = (Bx -F D)(cx -F d)-,
et, par suite ,
(Bx -F D) (ex -F d)
(Bx’ H- D)
( B x -F D j (y — ex — d) — o.
Dans ce cas , l’équation proposée représenterait deux droites * ayant pour équations
ou
B x -F D = o , y — ex — d=z o ,
x = — — , y =z ex -F d.
Il résulte de là que, lorsqu’on a A= o, les autres termes du second degré restant dans l’équation , cette dernière représente ou une hyperbole qui a deux asymptotes dont l’une est parallèle à l’axe des y, ou un système de deux droites dont l’une est aussi parallèle à ce même axe. Si c'était le carré de x qui manquât dans l’équation , on arriverait à une conséquence tout à fait semblable.
On reconnaîtrait sans peine , en suivant la marche précédente , que si l’équation était privée du carré de l’une des variables, y par exemple; et de la première puissance de. cette même variable, l’équation appartiendrait à une hyperbole qui aurait deux asymptotes, dont l’uue serait l’axe
LIGNES DU SECOND OIIDKE
iay
des y, ou à un système de deux droites dont l’une serait ce même axe.
87. Quand les carrés des deux variables manquent dans l’équation , auquel cas elle est de la forme
B xy -+- D y + Ei + F=o; en la résolvant par rapport à y , par exemple, on a — Ex— F r
* y~ Bi + D ~ +B.r+D’
d étant la première partie du quotient, qui doit être indépendante de x , et r le reste.
En raisonnant comme précédemment, on reconnaîtra sans peine que si la division donne un reste, l’équation représente une hyperbole qui a deux asymptotes parallèles aux axes, et que si le reste est nul, on a deux droites respectivement parallèles à ces mêmes axes.
Asymptotes de l' hyperbole en général.
88. Un appelle asymptote d’une courbe , une ligne dont cette courbe se rapproche indéfiniment, et autant qu’on le veut, à partir d’un de ses points, sans jamais la rencontrer, à quelque distance qu’on les suppose prolongées l’une et l'autre.
Nous considérerons particulièrement les asymptotes rectilignes.
La méthode donnée par M. Cauchy pour déterminer les asymptotes rectilignes est une conséquence de leur définition.
Soient KR ( Jig . 55) une branche de courbe qui se prolonge à l’infini, et GL une asymptote non parallèle à l’axe des y.
L’équation de cette asymptote sera de la forme
y — ex + <I,
• ' - > " il
l3o CHAPITRE SEPTIÈME.
les coefficients c et d ayant des valeurs finies. En supposant
l’équation de la courbe résolue par rapport à y, on aura
l'expression f (x) pouvant prendre une ou plusieurs valeurs dillérentes pour chaque valeur attribuée à l’abscisse x. La diflércnce f[x) — ex — d entre les ordonnées des deux lignes correspondantes à une même abscisse devra , à partir d’une certaine valeur de x, diminuer continuellement pour des- valeurs croissantes de x , et se réduire à zéro pour
x = ± oo .
Or, l’expression J[x) — c.r — d peut être mise sous la forme
Le premier facteur x augmentant , le second
devra diminuer sans cesse, puisque la valeur du produit diminue. Enfin , lorsque x — ±: oo , le facteur
devra s’annuler, sans quoi le produit sera lui-môme infini. D’ailleurs , à cette limite , le terme ~ est nul , car la valeur de d est supposée finie. Alors on a /(•*)
d’où
puisque
e — lim. ->
LIGNES .DU SECOND OIIDIIE
l'il
Donc, la courbe considérée ne peut avoir une asymptote non parallèle à l’axe des ordonnées qu’autant que le rapy
port - de l’ordonnée à l’abscisse, des points de l’une de ses
branches tend vers une limite finie pour des valeurs de x infiniment croissantes 5 et si , cette condition étant remplie, l’asymptote existe réellement, le coefficient d’inclinaison de cette droite sur l’axe des abscisses doit être égal à la li-
mite vers laquelle tend le rapport -» et qu’il atteint seulement lorsque l’abscisse devient ihfinie.
En supposant la valeur de c obtenue, et en la désignant par c', la différence entre les ordonnées des deux lignes deviendra
f {x) — r'x — d, ou y — c' x — d.
' Cette différence devant être nulle pour x — cc , on en conclut
fl = liin..(y — c' x). *
O11 peut déterminer de cette manière plusieurs valeurs de c et d qui donnent diilérentes asymptotes à la courbe. ■ On doit encore remarquer qu’en faisant x — -+- 00 , on obtient les asymptotes des branches qui sont infinies du côlé des x positifs , et qu’en faisant x — — 00 , on obtient celles des branches qui sont infinies dans le sens des x négatifs.
' Appliquons les règles précédentes à 1 hyperbole.
Pour cette courbe, les valeurs générales de y sont
v=fl/ + 4-l Jfrx
■ 2 px
S’il s’agit de l’hyperbole représentée [fig- 02), la première valeur de y déterminé l’arc K,/ F/, OU l’arc RT/, suivant que l’on fai t croître x jusqu’à -4- 06 , ou jusqu’à — 00 .
i32 chapitre septième.
Et la seconde valeur dej' détermine l’arc K"E, ou l’arc K/G.
Pour avoir l’asymptote du premier arc K"E', on considérera le rapport ~~ , et l’on cherchera la valeur que prend ce rapport pour x = -f- oo . Or,
Si l’on suppose x — -+- oo , il vient
lim. — = a H =
Connaissant la valeur dec, on cherchera la limite de y — ex. Dans ce cas , on a
y — ex — ax -4- b H — I— i/ô’x’-t- 2 px + 7 — (a H — — \ x
= i + 3TWy
■ 2/?JC
Mais, en laissant la valeur de y — ex sous cette forme, on ne voit pas ce qu’elle devient lorsque x augmente positivement jusqu’à l’infini, puisque les parties comprises entre parenthèses deviennent infinies en même temps. Pour lever la difficulté, nous emploierons une transformation connue. Nous écrirons
, (y^’x’-f- 2 px-{-q — S x) (J <î!xM- 2 px -+- q-hSx)
—, . +tl)
ia(v/J’
2 px
2 px
2 A (y^’x1 -f- 2 px -|- q -4- S x)
J.IGKES DU SECOND ORDRE* ' l33
On voit aisément que, pour x=+ w, on a
cl — lim. (y — ex) — A
2 Ao
Remplaçant c et ci par leurs valeurs dans l’équation
«■ ‘ y'=ex4-rf,
on aura , pour l’asymptote de l’arc K"E',
Si 1 on veut 1 asymptote de l’arc K'G, on remarquera que cet arc est déterminé par la seconde valeur de y, en y fai^ sant croître x jusqu’à — oo . On a alors
X = a + L y/9> X’ + 2PX + Cf.
Changeons x en — z , il faudra ensuite faire z vient
~-ar- + ^j-sl!P*~*pz + q
d’où l’on tire
c = iim * - — a ~\ ,
valeur trouvée précédemment.
On obtient aussi
y — ex = ax 4- b — ^ x* 4- 2/jx + 7 —
— b — — ( \jS 1 x’4- 2 px 4-74- Sx)
. ~b ( sjS1 z- — 2 pz 4- 7 — Sz)t
