Premier exemple

y * — ixy ■+■ 2X1 — 2 y — 3x + 7 = o.

Cette équation, comparée à l’équation générale, donne B’— 4AC= — 4;

elle représente alors une ellipse ou l’une de scs variétés. Pour savoir quel cas a lieu, résolvons l'équation par rapport à y 5 nous aurons

Construisons d’abord le diamètre I1H' (Jig- 58) dont l’équation est y = x-h 1 . Egalons ensuite à zéro la quantité placée sous le radical , nous obtiendrons l’équation

— x1 -4-5* — 6 = 0, ou j'1 — 5i + 6 = o,

qui donne

Ces racines étant inégales, l’équation représente une cl-

l40 CHAPITRE SEPTIÈME.

lipse, qui rencontre le diamètre aux points dont les abscisses sont

• ' jc = 3, .r — 2.

Pour avoir ces points , on prendra , à partir de l’origine , sur l’axe des x ,

AD'=3,r AD =2;

cl-, l’on mènera les parallèles DE, D' E', à l’axe des y\ la courbe côupera le diamètre aux points E, E'.

I,a quantité placée sous le radical étant le produit de ( x — 2) par (3 — x) , si l’on désigne toujours par Y l’ordonnée comptée à partir du diamètre, on aura ^

De x = o à x = 2, le facteur x — 2 estnégalif, et le suivant est positif. Par conséquent, les valeurs de Y sont imaginaires; il n’existe donc aucun point de la courbe entre l’axe desyet la parallèle DE à cet axe.

De x = 2 à x = 3 , les facteurs ( x — 2 ) , (3 — x) , sont positifs , et , par suite , les valeurs de Y sont réelles. Si l’on prend des valeurs de x plus grandes que 3 , il est aisé de reconnaître que les valeurs de Y sont imaginaires. On voit avec la même facilité que l’abscisse x ne peut recevoir de valeur négative. La courbe est donc renfermée entre les deux parallèles DE, D' E'.

Pour avoir les limites à partir du diamètre, on remSrquera que la somme des facteurs x — 2 , 3 — x , étant égale à 1 , le maximum de Y est

L’abscisse correspondante à celte ordonnée maximum s’obtiendra en posant

■2 — , <1 on .r = -•

LIGNES DU SECOND ORDRE. ’ ■ l4l

Le point déterminé par cette valeur est le milieu G de DD'. Il résulte de là qu’on aura les points les plus éloignés du diamètre, en prenant sur la ligne GO, parallèle aux ordonnées , les longueurs OK , OR', égales à

Si l’on mène les parallèles. RKS, R' K' S', à EE', l’ellipse représentée par l’équation donnée sera comprise dans le parallélogramme RSR' S'.

Deuxième exemple. . »

y' — 2 xy 4- 2x’- + 2/ — 3 x — 5 = o.

En résolvant l’équation par rapport à y. il vjeut

t,Le diamètre, représenté par l’équation y = X — 1, est

H' H (Jig . 5p). Si l’on pose »

— x 2 -|- x + 6 = o , ou x3 — x — 6po,

ori en déduira ar=3, x = — 2, pour les abscisses des points de rencontre E, E', de la courbe avec le diamètre. L’ordonnée comptée à partir du diamètre est

Le maximum de cette ordonnée est

L’abscisse correspondante, que l’on trouve en faisant x -t- 2 — 3 — x, •*

est -• On prendra donc sur la parallèle KOR à l’axe dcs y, menée à la distance - de l’origine, des longueurs OK , OK ■

l4* CHAPITRE SEPTIÈME.

égales à Les points K, K' seront les plus éloignés du diamètre.

En faisant x — o, dans l’éqnation proposée, on trouve y — — i ± \/6-

Ce qui détermine les points M, M', où 1a courbe coupe l’axe des y, ' •

L'hypothèse y = o donne x = - et x = — t ; ce qui fait

connaître les points d’intersection N, N', de la courbe avec l’axe des x.

Troisième exemple.

-, /'+ 21/ + iox1 — 94: = o.

Cette équation, résolue jjar rapport ày, donne

y — — x zty^ — y.r1 -f- gx = — x± 3^ — x1 -+- x-

Le diamètre y = — x est la bissectrice H' H de l’angle Y' AX (fig. 6o). En faisant

— x1 4- x = o , ou xJ — x == o , , ,

on trouve

la courbe est donc limitée, dans le sens des x, à la parallèle . DE menée à l’axe des y , à la distance AD = i . L’équation donne

le maximum de eût te ordonnée, est l’abscisse correspondante est Les points les plus éloignés du diamètre sont K', K. La courbe est tangente à l’axe des y à l’origine*, elle

LIONES.DU SECOND ORDRE. l4«J

coupe l’axe dés x aux points A , N, dont le second est à une

distance de l’origine égale à — ■

Quatrième exemple.

. y' — ixy -t- 4x3+ 2 J — i/j r + 1 3 = o.

Un tire de là

Cette équation ne donne de valeur réelle pour y qu’en faisant a;= 2, ce qui conduit à i. Par conséquent, elle représente un point. Elle peut être mise sous la fo/rne

Cinquième exemple.

y 1 — 2 xy -+- 2 x1 — 2|v2x+6=o.

On a

L’équation donne

Les racines étant imaginaires, on en conclut que l’équation proposée est impossible. Cette impossibilité est mise en évidence en écrivant l’équation sous la forme

Exemples dans lesquels on a

» * R’ — 4 AC> o.