Premier exemple
y' — 2 xy — *). y -H 3.x H- 3 i = o.
l44 CHAPITRE SEPTIÈME.'
Cette équation donne
y — x -+- i ± \jx‘ — x — a- *
Le diamètre, qui a pour équation
est H'H ( fig . 61). L’équation
•a pour racines
Comme ces racines* sont réelles et inégales, et que le coefficient de x 4 est positif, l’équation proposée représente une hyperbole. En prenant, dans le sens des x positifs, la distance AD = 2, et, dans le sens des x négatifs , AD'= — i , les parallèles DG , D'G', menées à l’axe des y par les points D, D', détermineront les intersections E, D' de la courbe avec son diamètre.
La valeur de l’ordonnée, comptée à partir du diamètre, est
Celte ordonnée est imaginaire pour les valeurs positives de x moindres que 2 , mais elle va continuellement en augmentant depuis x—n jusqu’à x= 00 , ce qui détermine la branche MEN. L’ordonnée Y est encore imaginaire quand on attribue des valeurs négatives à x , comprises entre o et — 1. De x — — 1 à .r = — cc, on trouve pour Y des valeurs réelles et croissantes', qui déterminent la branche M'D'N'. L hypothèse x== o donne des valeurs imaginaires pour y\ ce qui doit avoir lieu d’après la position de la courbe. ;
Pour obtenir les asymptotes de la courbe, il faut, d’après
la règle donnée (n° 88), prendre le binôme x> — -, dont
LIGNES OU SECOND ORDRE
le carré reproduit les deux premiers termes de la quantité .placée sous le radical, on trouve alors, pour les équations des lignes demandées,
Ces droites coupent le diamètre y = x -f- 1 au point O, dont
l’abscisse , AK, est x = —
Pour avoir un point de chacune d’elles, ou fera x — o, ce qui donne
et
On prendra donc les distances AL, AL', égales respective- .
ment à ^ et ^ ; 011 joindra L , O, et L', O, et les lignes L1 ,
L'I', seront les asymptotes de l’hyperbole.
Deuxieme exemple.
y’2 — 2 xy + 2 y — — 2 = 0.
On lire de là
y — x — 1 ± yx’ -h j.i + 3-
Le diamètre y— x — 1 est HH' (Jig. 6a).*Si l’on pose xJ + 2,r + 3 = o,
on obtient des racines imaginaires ; le coefficient de x* étaut positif, il en résulte que la courbe ne rencontre pas le diamètre. L’ordonnée comptée à partir de ce diamètre est
elle est minimum pour x — — 1 , ce qui donne
On prendra donc, dans le sens des x négatifs, la distance AD = 1 j et après avoir mené la parallèle DO à l’axe des y ,
on portera sur cette parallèle les longueurs OM, OM', égales à ; les points M, M' seront les plus rapprochés du . diamètre. La quantité Y augmente de x = — iàr=±oo. Pour t = o, Y = ^3, ce qui détermine les points E, E', où la courbe coupe l’axe des y. D’ailleurs, à partir des points M, M', elle va continuellement en s’éloignant du diamètre : ces deux branches sont donc LMK., L'M'K'.
Les asymptotes ont pour équations
y = x — i ± ( .r 4- i ) , ou
ces lignes sont TT', RR'. On pouvait prévoir qu’une des asymptotes était parallèle à l’axe des x , puisque le carré de cette variable 11’entre pas dans l’équation de la courbe. Troisième exemple.
y7 — 2 xy 4- 4/ — 2*4-3 = o.
Celte équation donne
2 ± ^X7 — 2*4-1 — X — 2 ±(x y — 7. x — 3 et y — — 1 .
Dans ce cas, on a un système de deux droites qui se coupent. L’équation est le produit de deux facteurs rationnels et peut s’écrire de la manière suivante :
Sous cette forme, on reconnaît très-facilement qu’elle représente un système de deux droites.
Quatrième exemple. •.
r1 — 2 xy 4- 2 y 4- 2 .c 4- 1 = o.
Le carré de y manque dans l’équation; si on la résout par
LIGNES DE SECOND ORDRE. I 4 7
rapport à cette variable, il vient
l’+ÎX+l I 3 2
en effectuant les calculs.
Construisons (l’abord la droite TT' (Jtg- 63), qui a pour équation
et posons
Pour x = o , on a'
il faut donc prendre, au-dessous de TT', la distance
